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wie lautet der Koeffizient von x^4 * y^2

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz

letizia1234 aktiv_icon

14:12 Uhr, 13.09.2015

Hallo ich hoffe ihr könnt mir helfen

Ich habe keine Ahnung was gemeint ist, habe das in der Schule nicht gelernt und in dem Buch mit dem ich lerne ist es nicht erklärt im Internet hab ich auch nichts gefunden deswegen wende ich mich an euch. Es ist bestimmt ganz einfach und ich werde es auch sofort verstehen nur im Moment hab ich einfach keine Ahnung was das überhaupt ist?

Wie lautet der Koeffizient von

x^{4}

y² in den Entwicklungen ( nach dem Binomischen Lehrsatz)

a :

(2x²+2y)^4 Lösung

96

? - wie komme ich darauf?

b : {(x + y)}^{6}

Lösung

15

? wie komme ich darauf?

c :

(x+2xy)^4 Lösung

24

? wie komme ich darauf?

Vielen vielen dank wenn man mir den Weg zum Lösen dieser Aufgaben erklären könnte :-)
LG letizia

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

michaL aktiv_icon

14:18 Uhr, 13.09.2015

Hallo,

> Wie lautet der Koeffizient von

x^{4}

y² in den Entwicklungen ( nach dem Binomischen Lehrsatz)

Du musst halt den binomischen Lehrsatz anwenden.

Stelle dir die Frage, wie oft du in

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}

den Faktor

a

"benötigst" und wie oft

b

.

In deinem Fall (a): Wie oft wird für

x^{4} y^{2}

der Faktor

2 x^{2}

benötigt? Wie oft der Faktor

2 y

? (Dies dient dazu, das

k

zu ermitteln. One kommst du entweder nur durch viel Arbeit (ausmultiplizieren) oder durch Zufall an den Koeffizienten!)

Mfg Michael

letizia1234 aktiv_icon

14:41 Uhr, 13.09.2015

Vielen Dank Michal..
ich habe nun keine Ahnung wie ich voran gehe da ich dieses Thema noch nie zuvor gelernt habe.

in

{(a + b)}^{2} = a^{2} +

2ab

+ b^{2}

hm beide Faktoren benötige ich 2 mal =

wie oft wird für

x^{4} y^{2}

der Faktor

2 x^{2}

benötigt? wie oft der Faktor

2 y

x x x x y y

wie oft

: 2 \cdot x x

Hm naja

x^{2}

wird zei mal benötigt aber die 2 zb garnicht
und

2 y

auch auch nicht wirklich

ich habe leider keine ahnung wie ich anfangen soll ..

michaL aktiv_icon

14:46 Uhr, 13.09.2015

Hallo,

korrekt: um auf den Term

x^{4} y^{2}

zu kommen, benötigst du

2 x^{2}

zweimal und

2 y

ebenfalls.
Stimmt schon, die Zweien brauchtest du gar nicht dafür, du kannst aber eben nur diese Faktoren nehmen, die Zweien sind halt mit dabei, ob du das willst, oder nicht.
Du hast also

k = 2

herausgearbeitet. (Entweder, weil man für

x^{4} y^{2}

den Term

2 x^{2}

zweimal (2x) braucht, oder weil man dafür den Term

2 y

zweimal (2x) braucht. Das kannst du dir aussuchen.)

Nun finde noch das

n

heraus! (Ist nicht so schwierig, das ist sogar direkt angegeben!)

Mfg Michael

abakus

14:55 Uhr, 13.09.2015

Hallo,
Es gilt

(a + b)^{4} = 1 \cdot a^{4} + 4 \cdot a^{3} \cdot b^{1} + 6 a^{2} \cdot b^{2} + 4 \cdot a^{1} \cdot b^{3} + 1 \cdot b^{4}

.
Ich hoffe, du kannst die Herkunft von 1, 4, 6, 4, 1 erklären (ausrechnen der Binomialkoeffizienten (4 über 0) bis (4 über 4) oder Blick in die entsprechende Zeile des Pascalschen Dreiecks.)

In dem Term (2x²+2y)^4 steht nun 2x² an Stelle von a und 2y an Stelle von b.
Damit wird die obige Formel zu

(2 x^{2} + 2 y)^{4} = 1 \cdot (2 x^{2})^{4} + 4 \cdot (2 x^{2})^{3} \cdot (2 y)^{1} + 6 \cdot (2 x^{2})^{2} \cdot (2 y)^{2} + . . . u s w

= 1 \cdot 16 x^{8} + 4 \cdot 8 x^{6} \cdot (2 y) + 6 \cdot 4 x^{4} \cdot 4 y^{2} + . . . u s w

Nur in dem allerletzten von mir aufgeschriebenen Summanden entsteht ein Vielfaches von

x^{4} y^{2}

.
Siehst du jetzt, warum da 96 als Koeffizient entstehen muss?

letizia1234 aktiv_icon

15:47 Uhr, 13.09.2015

Vielen Dank :-) :-)

16 x^{8} + 65 x^{6} y + 96 x^{4} y^{2}

+64xy^3

+ 16 y^{4}

:-))

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