Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » wieso ist 0^0=1?

wieso ist 0^0=1?

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: null, Null hoch Null, Quadrat

poppes92 aktiv_icon

18:56 Uhr, 05.09.2008

Ich bin nach reiflicher Überlegung zu dem Schluss gekommen das

0^{0} = 1

seien könnte. Also befragte ich meinen Taschenrechner. Meine Vermutung war korrekt, aber wieso ist das so?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Wurzelgesetze

DK2ZA aktiv_icon

20:04 Uhr, 05.09.2008

0^0 ist nicht definiert! Der Taschenrechner irrt.

GRUSS, DK2ZA

anonymous

21:04 Uhr, 05.09.2008

0^{0} = 1

ist korrekt. Für jede reelle/komplexe Zahl a gilt, dass

a^{0} = 1

ist. Eine gute Herleitung habe ich Wikipedia (nachschlagen unter Potenz) entnommen:

a^{n} = 1 \cdot a \cdot a . . . n - m a l . . . a \cdot a

a^{0}

bedeutet dabei, dass a kein einziges mal in diesem Produkt vorkommt. Deswegen bleibt die 1 stehen.

Diese Definition ist durchaus auch sinnvoll, z.B. in der Numerik (computerorientierte Mathematik), bei der man nicht unbedingt vorhersagen kann, welche Zahlen für n und a eingegeben werden.
Man hätte ja auch auf die Idee kommen können, dass

a^{0} = 0

ist, jedoch verhält sich eine Null in einem Produkt fatal (

a^{0}

könnte ja auch Bestandteil in einem größeren Produkt sein), da sie alles zu 0 reduziert. Deswegen hat man festgelegt, dass stattdessen

a^{0}

das neutrale Element der Multiplikation liefert.

#Es gibt auch noch weitere Beispiele, z.B. Polynome, die eine Hoch-0-Potenz enthalen (das konstante Glied des Polynoms), oder die Einerstellen des Zahlensystems...#
(letztere Beispiele klammer ich nachträglich aus, da sie nichts mit dem direkten Problem

0^{0}

zu tun haben)

Gruß
TobeStar81

egono aktiv_icon

22:12 Uhr, 05.09.2008

Hallo
@Tobestar

0 H 0

ist nicht definiert.
Wie du schopn richtig sagtest, aH0=1 für jedes a ungleich 0

Aber überlegt man mal weiter:

0 H 5 = 0

denn fünfmal die 0 miteinader multiplizieren ergibt immer noch 0

0 H 4 = 0 s . ⊙

0 H 3 = 0 s . ⊙

0 H 2 = 0 s . ⊙

0 H 1 = 0 s . ⊙

0H0=?? es käme ja nach dem Permanenzprinzip 0 heraus. Aber nach der Definiton aH0=1 für jedes beliebige a Element der komplexen Zahlen wäre 1 die Lösung. So jetzt ist hier das Problem, dass eine Aufgabe 2 unterschiedliche Lösungen hat.
Daher ist

0 H 0

nicht definiert.

P . S

. H=Hoch

Cerveza aktiv_icon

22:34 Uhr, 05.09.2008

Eine Zahl hoch Null ist immer Null. siehe 2 hoch null ist auch gleich eins.

gruß kevin

MBler07 aktiv_icon

22:34 Uhr, 05.09.2008

Hi

hab mal ein bischen google genutzt. Gerade was Wissenschaftliche Sachen angeht würde ich wikipedia nicht als (einzige) Quelle angeben/nutzen.

Nach dem was ich gefunden habe ist die Frage, ob

0^{0} = 1

oder undefiniert ist noch nicht abschließend geklärt.
Die Antwort beruht wohl eher auf der persönlichen Sichtweise bzw der vertretenen Lehrmeinung.

Falls jemand dazu eine abschließende Antwort hat, könnt ihr bitte mal ein paar Quellen (auch Bücher) posten?!

Grüße

Cerveza aktiv_icon

22:35 Uhr, 05.09.2008

ich meinte hoch null ist immer gleich eins!!!^^^^

anonymous

07:26 Uhr, 06.09.2008

Hallo nochmal,

@egonon

nein, das ist nicht das, was ich behauptet habe:

0^{n} = 1 \cdot 0 \cdot . . . n - m a l . . . \cdot 0 = 0

0^{3} = 1 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0

0^{2} = 1 \cdot 0 \cdot 0

0^{1} = 1 \cdot 0

0^{0} = 1

und 0 kommt kein einziges mal in diesem Produkt vor...

Hier noch mal der Link

http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)
(Unter Verallgemeinerung)

@all

Ja, ihr habt schon Recht, natürlich ist der Verweis auf Wikipedia kein Beweis dafür. Jedoch spricht alles dafür, dass

0^{0} = 1

definiert ist. Z.B. weil Potenzen eine Produkt-Rechnung ist und z.B.

0! = 1

gilt (Fakultät ist ja auch Produkt-Rechung), aus dem Grund, weil 1 das neutrale Element der Mulitplikation ist. Und hinzu kommt z.B. das Pascalsche Dreieck, dass für ALLE reellen Zahlen erklärt ist, und wo niemals ausgeschlossen wird, dass a=-b ist. Die Spitze dieses Dreiecks (die Null-Potenz) ist jedoch immer 1! (In der zweiten Zeile steht die 1er-Potenz und in der dritten Zeile steht erst dass, was unter der ersten bzw. zweiten bin. Formel bekannt ist).
Beides hängt eng mit dem Binomischen Lehrsatz zusammen.

Ich hätte jetzt gerne die Anregung von MBler07 angenommen und auf eines meiner Analysis-/Algebra-Bücher verwiesen. Jedoch wird das Potenz-Thema dort komplett ignoriert, da anscheinend selbstverständlich. Ich werde mich deshalb mal schlau machen, wo man einen entsprechenden Verweis herbekommt. Das kann aber dauern....

Jedoch kann ich nur raten, dass man im Zweifelsfall

0^{0} = 1

annimmt (da bisher auch niemand eine bessere Begründung gegeben hat, warum es nicht definiert sein sollte), da es bei uns an der Uni gilt, und auch an den anderen Uni´s, zu deren Studis ich Kontakt habe.

Den Hinweis darauf, dass es anscheinend Ansichtssache ist, kann ich dagegen nicht bestätigen. Das wird schon eindeutig sein. Jedoch weise ich darauf hin, dass -genausowenig wie bei Wikipedia- man sich beim googeln nicht darauf verlassen kann, dass man einen qualifizierten Beitrag erwischt und das deswegen auch gegensätzliche Meinungen im Umlauf sind.

Aber ich finde es schön, dass wir alle ins Schleudern geraten =) Ich denke, am Ende sind wir alle einen Deut schlauer!

Bis bald und Gruß
TobeStar81

anonymous

07:34 Uhr, 06.09.2008

Hier wollte ich eigentlich etwas schreiben, das ich revidieren musste =) Ich rate aber jeden auf der o.g. wiki-Seite den Beitrag "Null hoch Null" durchzulesen, da gibt es ein paar gute Gründe dafür,

0^{0}

zu definieren (auch wenn dort gesagt wird, dass es eigentlich nicht definiert ist)...

...ich weiß nicht wie es euch geht, aber je länger ich drüber nachdenke, desto mehr dreht es sich in meinem Kopf. Ich glaub ich geh mal schlafen =)

larrybookwood aktiv_icon

10:29 Uhr, 06.09.2008

Tach zusammen,

ich misch mich mal ein.

Also: Egeno hat da meiner Meinung nach schon recht.

@Tobestar81

0^{0}

ist leider nicht eindeutig, wie eine Grenzwertbetrachtung zeigt.

Nehmen wir den Grenzwert der Funktion

f (x) = 0^{x}

an der Stelle

x = 0,

so ergibt dies 1.
Nehmen wir nun jedoch den Grenzwert von

f (x) = x^{0}

an der Stelle

x = 0

so ergibt dies 0.

Du legst für deine Argumentation, dass

0^{0}

gleich 1 ist, die Funktion

0^{x}

zugrunde, was bei

x = 0

ja auch tatsächlich der Fall ist, aber wenn man eben die andere Funktion mithinzuzieht und dort

0^{0}

berechnet, dann sieht das eben anders aus.

Aber da je nach Betrachtungsweise für

0^{0}

jeweils 0 oder 1 das Ergebnis ist, kann es also nicht definiert sein.

Gruß
Larry

anonymous

13:37 Uhr, 06.09.2008

Guten Morgen allesamt =)

also zunächst mal wurde das Thema ja auch anscheinend an anderer Stelle diskutiert:
http//www.matheboard.de/archive/144250/thread.html

Dort gibt es dann auch ein paar weiterführende Links (nein, leider nicht zu wissenschaftlichen Quellen...), nur zur Info.

@larry

Ich verstehe wohl, was du meinst, kann es aber sein, dass du die Grenzwerte vertauscht hast? Der Grenzwert von

0^{x}

dürfte doch 0 sein und von

x^{0}

wäre 1... Ich gehe mal davon aus. Ist ja auch nicht so wichtig, Hauptsache zwei verschiedene Ergebnisse =)

Aber leider hilft uns die Grenzwertbetrachtung hier gar nicht weiter, will damit sagen, dass der Grenzwert gegen 0 nicht unbedingt dem Funktionswert in 0 entsprechen muss. So könnten wir dort eine Sprungstelle besitzen, oder eben auch eine Definitionslücke... Wir können aber zunächst mal keine Aussage treffen, ob die Funktionen in x=0 überhaupt stetig/definiert sind.
Natürlich können wir fordern, dass die Funktionen stetig sein sollen, dann hast du allerdings Recht, dann haben wir ein Problem. Nur warum sollten wir das fordern? Zum Beweis, dass

0^{0}

nicht definierbar ist, genügt das meiner Ansicht nicht, da man ja nachträglich Anforderungen an die Funktionen stellen muss, die vom Problem her erst mal gar nicht gegeben sind...

@all

Ich weise hier aber auch noch mal auf z.B. die Exponentialreihe hin (wird u.a. auch im Wikipedia-Artikel als Bsp genannt):

\exp (z) = e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}

Bekanntlich ist

e^{0} = 1

, das funktioniert hier aber nur, wenn

0^{0} = 1

ist. Mir ist keine vollständige Analysis-Theorie bekannt, die ohne Exponentialreihe auskommt. Wer also diese Exponentialreihe benutzt, muss automatisch akzeptieren, dass

0^{0} = 1

ist. Natürlich könnte man hier auch einwenden, man könnte die Exponentialreihe für alle

z \neq 0

definieren und -da Definitionslücke- an der Stelle 0 einfach den Wert 1 setzen. Aber warum sollte man es sich so kompliziert machen?

Ich selber bin durch diesen Thread schlauer geworden, da ich erkannt habe, dass

0^{0} = 1

anscheinend keine Folgerung aus den Potenzgesetzen ist, sondern eine Definition nach Zweckmäßigkeit. Ich muss aber sagen, dass ich in meinem Mathematik-Studium noch nie gehört habe, dass

0^{0}

nicht definiert sein soll...

Wie dem auch sei, ich werde das Thema nun für mich schließen, stehe aber für Fragen bzgl meiner Beiträge weiterhin zur Verfügung =) Aber ich fürchte, da man nun weder die eine noch die andere These beweisen kann, wird nun die Fragestellung darauf hinauslaufen, ob die Definition

0^{0} = 1

allgemeingültig ist oder nicht und bei Definitionssachen kann natürlich jeder sein eigenes Süppchen kochen...

Gruß
TobeStar81

P.S.: Bin übrigens beim googeln auch auf jemanden gestoßen, der einen Thread eröffnet hat, da sein Taschenrechner bei

0^{0}

ein "ERROR" geliefert und er sich deswegen etwas gewundert hat. Die Technik scheint sich also auch nicht einig zu sein... Aber ihr wisst ja, Taschenrechner sind auch keine wissenschaftlichen Quellen =)

poppes92 aktiv_icon

17:42 Uhr, 07.09.2008

ja danke für die hilfe es war für mich nur eine von vielen unbeantworteten Fragen, die mir seid langem durch den Kopf gingen. Ihr habt interessante Ideen und Ansätze. Einen Teil verstehe ich nicht, da ich ein durchschnittlicher Schüler der Klasse

10

auf einem sprachlichen Gymnasium bin, trotzdem freu ich mich über die Resonanz meiner Frage und eine kleine Erleuchtung des Tages.

Danke
Lennart

530412

529980

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?