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x ≤ y ⇒ x^2 ≤ y^2 wahr oder falsch?

Universität / Fachhochschule

Tags: Implikation, kleiner gleich, Menge, Ordnungsrelation, Rationale Zahlen

Matheistungesund aktiv_icon

12:38 Uhr, 22.11.2021

Betrachtet wir die Ordnungsrelation ≤ auf den rationalen Zahlen. Die Behauptung ist:

x

≤

y

⇒

x^{2}

≤

y^{2}

. Ich hatte erst versucht, die Aussage mittels Äquivalenzklassen zu beweisen und zwar wie folgt:

[x,1]

≤

[y,1] | \cdot [x,1]

[x,1] \cdot [x,1]

≤

[y,1] \cdot [x,1]

[x^{2}, 1]

≤

[x \cdot y,1]

[x,1]

≤

[y,1] | \cdot [y,1]

[x,1] \cdot [y,1]

≤

[y,1] \cdot [y,1]

[

xy,1] ≤

[y^{2}, 1]

Also

[x^{2}, 1]

≤

[y^{2}, 1]

Aber dann dachte ich sei

x = - 3

und

y = - 2,

dann gilt

x

≤

y,

aber wegen

x^{2} = 9

und

y^{2} = 4

nicht

x^{2}

≤

y^{2}

.

Also wo liegt bei einem der beiden der Denkfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

12:41 Uhr, 22.11.2021

Die Behauptung ist offensichtlich falsch. Und deinen Beweis verstehe ich nicht.

Matheistungesund aktiv_icon

12:48 Uhr, 22.11.2021

Anders geschrieben:

x

≤

y | \cdot x

x^{2}

≤

x \cdot y

x

≤

y | \cdot y

x \cdot y

≤

y^{2}

Also

x^{2}

≤

y^{2}

Aber dank deiner freundlichen Antwort weiß ich ja jetzt, dass die Behauptung falsch ist. Vielen Dank.

pwmeyer aktiv_icon

12:56 Uhr, 22.11.2021

Hallo,

der erste Schritt ist allgemein falsch:

x \leq y \Rightarrow x \cdot x \leq y \cdot x

Das gilt (allgemein) nur, wenn

x > 0

.

Gruß pwm

Matheistungesund aktiv_icon

13:22 Uhr, 22.11.2021

Okay vielen Dank.

rundblick aktiv_icon

15:58 Uhr, 22.11.2021

.
" Die Behauptung ist:

x

≤

y

⇒

x^{2}

≤

y^{2} ... . .

(x, y \in ℚ

)."

für alle Beweiskünstler:
dass die Behauptung stimmt, wenn das " = " gilt

\to

ist trivial ..

\leftarrow

Mathe.ist.gesund! - oder? .. :-)

bleibt

\to x < y \Rightarrow x^{2} < y^{2}

...?? :
bei Behauptungen dieser Art genügt doch schon irgend

e i n

Gegenbeispiel -

... .

. und die Sache hat sich erledigt..
also: aus

\to - 5 < 3

folgt nicht

\to 25 < 9 .

. fertig

ok?

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