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x hoch (ln x) und (ln x) hoch x anders ausgedrückt

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Tags: Exponenten, ln-Funktion, Verhalten gegen Unendlich

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12:51 Uhr, 10.05.2008

x

hoch

(ln x

) und

(ln x

) hoch

x

anders ausgedrückt oder Verhalten wenn

x

gegen unendlich geht? Wie Beweise ich, dass

(ln x

) hoch

x

schneller wächst (Erkenntnis aus GTR-Rechner).

Hierzu passend bei OnlineMathe:
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion
ln-Funktion

m-at-he

14:32 Uhr, 10.05.2008

Hallo,

lim_{x \to \infty} (\frac{{(ln (x))}^{2}}{x});

L'Hospital

= lim_{x \to \infty} (\frac{2 \cdot ln (x) \cdot \frac{1}{x}}{1})

= lim_{x \to \infty} (2 \cdot \frac{ln (x)}{x})

= 2 \cdot lim_{x \to \infty} (\frac{ln (x)}{x});

L'Hospital

= 2 \cdot lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{1}{x}}{1})

= 2 \cdot lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x})

= 2 \cdot 0

= 0

Also gibt es ein

x_{0}' > 0,

so daß für alle

x > x_{0}'

gilt:

\frac{{(ln (x))}^{2}}{x} < 1

{(ln (x))}^{2} < x

Ebenfalls gilt für

x > 2 :

ln (2) < ln (x)

ln (2) - ln (x) < 0

Damit gilt für x>x_0=Maximum(x_0';2)

ln (2) + {(ln (x))}^{2} - ln (x) < x

ln (2) + (ln (x) - 1) \cdot ln (x) < x

ln (2) + ln (x^{ln (x) - 1}) < x

ln (2 \cdot x^{ln (x) - 1}) < x

2 \cdot x^{ln (x) - 1} < e^{x}

2 \cdot ln (x) \cdot x^{ln (x) - 1} < e^{x} \cdot ln (x) < e^{x} \cdot ln (x) + e^{x} \cdot \frac{1}{x};

weil

e^{x} \cdot \frac{1}{x} > 0

für alle

x

Links steht die Ableitung von

x^{ln (x)},

rechts die Ableitung von

{(ln (x))}^{x}

Damit steigt für

x > x_{0}

die Funktion

{(ln (x))}^{x}

schneller als die Funktion

x^{ln (x)} .

Schauen wir uns nun mal die Funktion

({(ln (x))}^{2} \cdot \frac{1}{x}

genauer an. Als Ableitung erhält man:

\frac{2 \cdot ln (x) - {(ln (x))}^{2}}{x^{2}}

Die Extremstellen sind

x_{1} = 1

und

x_{2} = e^{2}

. Wir wissen, daß die Funktion für

x \to \infty

gegen Null geht und weil gilt:

({(ln (1))}^{2} \cdot \frac{1}{1} = 0

({(ln (e^{2}))}^{2} \cdot \frac{1}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}} > 0

Ist

(e^{2}; \frac{4}{e^{2}})

ein Maximumpunkt und weil

\frac{4}{e^{2}}

bereits kleiner 1 ist, muß

x_{0}' < 1

sein und somit ist

x_{0} = 2

. Wenn wir jetzt noch ein

x > x_{0} = 2

finden, für das gilt, daß

{(ln (x))}^{x} > x^{ln (x)},

dann ist nicht nur gezeigt, daß

{(ln (x))}^{x}

schneller wächst, sondern daß diese Kurve sicher oberhalb verläuft von

x^{ln (x)} .

Man findet schnell, daß

x = e^{2}

ein solches

x

ist:

{(ln (e^{2}))}^{e^{2}} = 2^{e^{2}} > 167 > 55 > e^{4} = {(e^{2})}^{2} = {(e^{2})}^{ln (e^{2})}

Somit gilt:

{(ln (e^{2}))}^{e^{2}} > {(e^{2})}^{ln (e^{2})}

und damit für

x \geq e^{2} :

{(ln (x))}^{x} > x^{ln (x)}

und

e^{x} \cdot ln (x) + e^{x} \cdot \frac{1}{x} > 2 \cdot ln (x) \cdot x^{ln (x) - 1};

das ist das selbe wie

({(ln (x))}^{x})' > (x^{ln (x)})'

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