Lanna 
21:11 Uhr, 23.11.2022
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Sei eine Folge ganzer Zahlen mit für alle . Die übliche Dezimalschreibweise bedeutet, dass ist.
Die Folge sei schließlich periodisch, d.h. es gebe Zahlen mit für alle . Man zeige, dass dann eine rationale Zahl ist.
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo,
aaach, eine Sache, die man schon in der Schule lernen sollte (und könnte, schwierig ist sie nicht).
Sei also mit für alle .
ist damit die Länge der Vorperiode. heißt Periodenlänge. Wir multiplizieren
mit , damit bei dem Dezimalbruch die Periode direkt nach dem Komma beginnt, d.h.:
Beachte: für Für dagegen gilt .
Nun multiplizieren wir noch einmal mit , damit wir das Komma um eine Periodenlänge verschieben:
Wegen für gilt , d.h. die beiden Zahlen stimmen nach dem Komma überein.
Um das einzusehen, schreiben wir den Index der rechten Summe um: Damit:
Nun berechnen wir die Differenz !
Daraus folgt schließlich .
Bevor du dich in den allgemeinen Fall hineinkniest, rate ich dir, das Verfahren an einem konkreten Beispiel abzuarbeiten.
Mfg Michael
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Lanna 
21:50 Uhr, 23.11.2022
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schön wäre es, wenn man sowas in der Schule lernt. Danke 1000-Mal michaL
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Die Quintessenz vom ganzen Indexkrieg ist eigentlich, den periodischen Dezimalzahlbruch mit Periodenlänge in einen Bruch umzuwandeln, was mit geometrischer Reihe gelingt:
Die Zahl im Nenner ist die -stellige Zahl bestehend nur aus Neunen.
Beispiel: kann man so umwandeln in
.
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Hallo,
HAL9000 schrieb: > [...] Indexkrieg [...]
Das trifft es ziemlich gut. :-)
Lanna schrieb: > schön wäre es, wenn man sowas in der Schule lernt.
Also ich habe kürzlich eine 9. Klasse damit genervt. Man kann das also schon in der Schule lernen, selbst wenn es nicht auf dem Lehrplan zu stehen scheint. OT: Finde das übrigens schrecklich. Auf dem Weg zu den irrationalen Zahlen gehört mMn auch die Primfaktorzerlegung, mit deren Eindeutigkeit leicht zu beweisen/einzusehen ist, dass entweder ganz oder irrational ist (für ). Ich finde schon, dass unsere Schülerinnen und Schüler insgesamt zu wenig über Zahlen wissen. Nicht selten geht es um die Umschreibung von Potenzen in Wurzeln oder umgekehrt. Ich würde da gerne auf die Frage, wie man OHNE Bruch schreiben kann, NICHT mehr die Antwort erhalten.
Mfg Michael
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