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x ist eine rationale Zahl, Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Rationale Zahlen

 
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Lanna

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21:11 Uhr, 23.11.2022

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Sei (an)n eine Folge ganzer Zahlen mit 0an9 für alle n. Die übliche Dezimalschreibweise x=0,a1a2a3 bedeutet, dass x=n=1an10-n ist.

Die Folge (an)n sei schließlich periodisch, d.h. es gebe Zahlen k,p mit an+p=an für alle nk.
Man zeige, dass x dann eine rationale Zahl ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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michaL

michaL aktiv_icon

21:44 Uhr, 23.11.2022

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Hallo,

aaach, eine Sache, die man schon in der Schule lernen sollte (und könnte, schwierig ist sie nicht).

Sei also x=l=0al10-l mit an+p=an für alle nk.

k-1 ist damit die Länge der Vorperiode. p heißt Periodenlänge.
Wir multiplizieren
x=l=0al10-l
mit 10k-1, damit bei dem Dezimalbruch die Periode direkt nach dem Komma beginnt, d.h.:
10k-1x=l=0al10k-1-l=(l=0k-1al10k-1-l)+(l=kal10k-1-l)
Beachte: k-1k-1-l0 für 0lk-1
Für lk dagegen gilt k-1-l<0.

Nun multiplizieren wir noch einmal mit 10p, damit wir das Komma um eine Periodenlänge verschieben:
10k-1+px=(l=0k-1+pal10k-1+p-l)+(l=k+pal10k-1+p-l)

Wegen an+p=an für nk gilt (l=kal10k-1-l)=(l=k+pal10k-1+p-l), d.h. die beiden Zahlen stimmen nach dem Komma überein.

Um das einzusehen, schreiben wir den Index der rechten Summe um: m:=l-pp-l=-m
Damit: l=k+pal10k-1+p-l=m=l-pm=kam+p10k-1-m=am+p=amm=kam10k-1-m

Nun berechnen wir die Differenz 10k-1+px-10k-1x=x(10k-1+p-10k-1)x=(l=0k-1+pal10k-1+p-l)-(l=0k-1al10k-1-l)!

Daraus folgt schließlich x=(l=0k-1+pal10k-1+p-l)-(l=0k-1al10k-1-l)10k-1+p-10k-1.

Bevor du dich in den allgemeinen Fall hineinkniest, rate ich dir, das Verfahren an einem konkreten Beispiel abzuarbeiten.

Mfg Michael
Frage beantwortet
Lanna

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21:50 Uhr, 23.11.2022

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schön wäre es, wenn man sowas in der Schule lernt.
Danke 1000-Mal michaL
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:34 Uhr, 24.11.2022

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Die Quintessenz vom ganzen Indexkrieg ist eigentlich, den periodischen Dezimalzahlbruch dp=0,00001¯ mit Periodenlänge p in einen Bruch umzuwandeln, was mit geometrischer Reihe gelingt:

dp=j=110-jp=j=1(10-p)j=10-p1-10-p=110p-1

Die Zahl im Nenner ist die p-stellige Zahl bestehend nur aus Neunen.

Beispiel: x=0,0815428571¯ kann man so umwandeln in

x=0,0815+0,00010,428571¯=0,0815+0,0001428571999999=0,0815+0,000137=8157+370000=142717500 .

Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

11:06 Uhr, 24.11.2022

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Hallo,

HAL9000 schrieb:
> [...] Indexkrieg [...]

Das trifft es ziemlich gut. :-)

Lanna schrieb:
> schön wäre es, wenn man sowas in der Schule lernt.

Also ich habe kürzlich eine 9. Klasse damit genervt. Man kann das also schon in der Schule lernen, selbst wenn es nicht auf dem Lehrplan zu stehen scheint.
OT: Finde das übrigens schrecklich. Auf dem Weg zu den irrationalen Zahlen gehört mMn auch die Primfaktorzerlegung, mit deren Eindeutigkeit leicht zu beweisen/einzusehen ist, dass n entweder ganz oder irrational ist (für n).
Ich finde schon, dass unsere Schülerinnen und Schüler insgesamt zu wenig über Zahlen wissen.
Nicht selten geht es um die Umschreibung von Potenzen in Wurzeln oder umgekehrt. Ich würde da gerne auf die Frage, wie man 212 OHNE Bruch schreiben kann, NICHT mehr die Antwort 20,5 erhalten.

Mfg Michael