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x ist eine rationale Zahl, Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Rationale Zahlen

Lanna aktiv_icon

21:11 Uhr, 23.11.2022

Sei

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

eine Folge ganzer Zahlen mit

0 \leq a_{n} \leq 9

für alle

n \in ℕ

. Die übliche Dezimalschreibweise

x = 0, a_{1} a_{2} a_{3} \dots

bedeutet, dass

x = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 1 0^{- n}

ist.

Die Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

sei schließlich periodisch, d.h. es gebe Zahlen

k, p \in ℕ

mit

a_{n + p} = a_{n}

für alle

n \geq k

.
Man zeige, dass

x

dann eine rationale Zahl ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

21:44 Uhr, 23.11.2022

Hallo,

aaach, eine Sache, die man schon in der Schule lernen sollte (und könnte, schwierig ist sie nicht).

Sei also

x = \sum_{l = 0}^{\infty} a_{l} 1 0^{- l}

mit

a_{n + p} = a_{n}

für alle

n \geq k

k - 1

ist damit die Länge der Vorperiode.

p

heißt Periodenlänge.
Wir multiplizieren

x = \sum_{l = 0}^{\infty} a_{l} 1 0^{- l}

mit

1 0^{k - 1}

, damit bei dem Dezimalbruch die Periode direkt nach dem Komma beginnt, d.h.:

1 0^{k - 1} x = \sum_{l = 0}^{\infty} a_{l} 1 0^{k - 1 - l} = (\sum_{l = 0}^{k - 1} a_{l} 1 0^{k - 1 - l}) + (\sum_{l = k}^{\infty} a_{l} 1 0^{k - 1 - l})

Beachte:

k - 1 \geq k - 1 - l \geq 0

für

0 \leq l \leq k - 1

Für

l \geq k

dagegen gilt

k - 1 - l < 0

.

Nun multiplizieren wir noch einmal mit

1 0^{p}

, damit wir das Komma um eine Periodenlänge verschieben:

1 0^{k - 1 + p} x = (\sum_{l = 0}^{k - 1 + p} a_{l} 1 0^{k - 1 + p - l}) + (\sum_{l = k + p}^{\infty} a_{l} 1 0^{k - 1 + p - l})

Wegen

a_{n + p} = a_{n}

für

n \geq k

gilt

(\sum_{l = k}^{\infty} a_{l} 1 0^{k - 1 - l}) = (\sum_{l = k + p}^{\infty} a_{l} 1 0^{k - 1 + p - l})

, d.h. die beiden Zahlen stimmen nach dem Komma überein.

Um das einzusehen, schreiben wir den Index der rechten Summe um:

m := l - p \overset{}{\Leftrightarrow} p - l = - m

Damit:

\sum_{l = k + p}^{\infty} a_{l} 1 0^{k - 1 + p - l} \overset{m = l - p}{=} \sum_{m = k}^{\infty} a_{m + p} 1 0^{k - 1 - m} \overset{a_{m + p} = a_{m}}{=} \sum_{m = k}^{\infty} a_{m} 1 0^{k - 1 - m}

Nun berechnen wir die Differenz

1 0^{k - 1 + p} x - 1 0^{k - 1} x = x (1 0^{k - 1 + p} - 1 0^{k - 1}) x = (\sum_{l = 0}^{k - 1 + p} a_{l} 1 0^{k - 1 + p - l}) - (\sum_{l = 0}^{k - 1} a_{l} 1 0^{k - 1 - l}) \in ℕ

!

Daraus folgt schließlich

x = \frac{(\sum_{l = 0}^{k - 1 + p} a_{l} 1 0^{k - 1 + p - l}) - (\sum_{l = 0}^{k - 1} a_{l} 1 0^{k - 1 - l})}{1 0^{k - 1 + p} - 1 0^{k - 1}} \in ℚ

.

Bevor du dich in den allgemeinen Fall hineinkniest, rate ich dir, das Verfahren an einem konkreten Beispiel abzuarbeiten.

Mfg Michael

Lanna aktiv_icon

21:50 Uhr, 23.11.2022

schön wäre es, wenn man sowas in der Schule lernt.
Danke 1000-Mal michaL

HAL9000

09:34 Uhr, 24.11.2022

Die Quintessenz vom ganzen Indexkrieg ist eigentlich, den periodischen Dezimalzahlbruch

d_{p} = 0, \bar{00 \dots 001}

mit Periodenlänge

p

in einen Bruch umzuwandeln, was mit geometrischer Reihe gelingt:

d_{p} = \sum_{j = 1}^{\infty} 1 0^{- j p} = \sum_{j = 1}^{\infty} {(1 0^{- p})}^{j} = \frac{1 0^{- p}}{1 - 1 0^{- p}} = \frac{1}{1 0^{p} - 1}

Die Zahl im Nenner ist die

p

-stellige Zahl bestehend nur aus Neunen.

Beispiel:

x = 0, 0815 \bar{428571}

kann man so umwandeln in

x = 0, 0815 + 0, 0001 \cdot 0, \bar{428571} = 0, 0815 + 0, 0001 \cdot \frac{428571}{999999} = 0, 0815 + 0, 0001 \cdot \frac{3}{7} = \frac{815 \cdot 7 + 3}{70000} = \frac{1427}{17500}

michaL aktiv_icon

11:06 Uhr, 24.11.2022

Hallo,

HAL9000 schrieb:
> [...] Indexkrieg [...]

Das trifft es ziemlich gut. :-)

Lanna schrieb:
> schön wäre es, wenn man sowas in der Schule lernt.

Also ich habe kürzlich eine 9. Klasse damit genervt. Man kann das also schon in der Schule lernen, selbst wenn es nicht auf dem Lehrplan zu stehen scheint.
OT: Finde das übrigens schrecklich. Auf dem Weg zu den irrationalen Zahlen gehört mMn auch die Primfaktorzerlegung, mit deren Eindeutigkeit leicht zu beweisen/einzusehen ist, dass

\sqrt{n}

entweder ganz oder irrational ist (für

n \in ℕ

).
Ich finde schon, dass unsere Schülerinnen und Schüler insgesamt zu wenig über Zahlen wissen.
Nicht selten geht es um die Umschreibung von Potenzen in Wurzeln oder umgekehrt. Ich würde da gerne auf die Frage, wie man

2^{\frac{1}{2}}

OHNE Bruch schreiben kann, NICHT mehr die Antwort

2^{0, 5}

erhalten.

Mfg Michael

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