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Universität / Fachhochschule

Tags: Norm

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14:49 Uhr, 17.04.2019

Hi, ich habe untere Definition der Norm gegeben.

Nun gilt

| | v | | = 0 \to v = 0

Warum gilt der gegengesetzte Fall nicht?

D . h . :

| | v | | = 0 \leftarrow v = 0

ermanus aktiv_icon

15:03 Uhr, 17.04.2019

Hallo,
die andere Richtung gilt doch automatisch:

∥ 0_{v} ∥ = ∥ 0 \cdot 0 v ∥ = 0 \cdot ∥ 0_{v} ∥ = 0

,
wobei ich der Deutölichkeit halber den Nullvektor mit

0_{v}

bezeichnet habe.
Man muss diese Richtung also nicht explizit fordern.
Gruß ermanus

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15:28 Uhr, 17.04.2019

D . h . :

| | v | | = 0 \to v = 0

Immer wenn die Norm Null ist, weiß ich, dass das Argument der Norm der Nullvektor war.

2.

| | v | | = 0 \leftarrow v = 0

Die Norm des Nullvektors ist Null

Grund meiner Frage ist: Ich habe eine Folge

b_{n}

gegeben mit

| | b_{n} | | = 0

für alle

n > m

.

Nun soll damit eine neue Folge gebildet werden:

\frac{1}{b_{n}}

Dabei muss ja

b_{n} \neq 0

sein.

Kann ich also sagen?:

b_{n}

ist genau

(d . h

. nur) dann gleich Null, wenn

| | b_{n} | | = 0

ist.

D . h

b_{n}

ist nicht gleich Null, wenn

| | b_{n} | | \neq 0

.
Dann wäre

\frac{1}{b_{n}}

sicher definiert für alle

n > m

ermanus aktiv_icon

15:35 Uhr, 17.04.2019

Du meinst sicher:
"Ich habe eine Folge

b_{b}

gegeben mit

∥ b_{n} ∥ \neq 0

für

n > m

"
Dann kannst du durch

c_{n} :=

beliebig für

n \leq m

und

c_{n} := \frac{1}{b_{n}}

für

n > m

eine neue Folge bilden,
wenn

\frac{1}{b_{n}}

überhaupt einen Sinn gibt; denn im allgemeinen kann man
ja wohl nicht durch einen Vektor teilen, oder?

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15:53 Uhr, 17.04.2019

Ja, es sollte heißen:

Ich habe eine Folge bn gegeben mit

| | b_{n} | | > 0

für alle

n > m

.

Zu deinem Einwand "Man darf nicht durch einen Vektor teilen" habe ich unten mal den Grund meiner Frage angehängt.

Und zwar geht es darum den Satz iii) zu beweisen. Bis zur grün umrandeten Stelle habe ich alles verstanden. Nun sagt man beim gelb umrandete, dass

n

nur von

m

bis

\infty

laufen darf. Das habe ich mir dadurch erklärt, da wir ja beim Gelben gezeit haben, dass

| | b_{n} | |

für alle

n > m

größer als Null ist.
Oder habe ich da was falsch verstanden?

So wie ich das verstanden habe ist

b_{n}

ein Element aus dem Vektorraum

X,

oder?.

ermanus aktiv_icon

16:00 Uhr, 17.04.2019

Tja, das hast du wohl richtig interpretiert.
Das Problem ist dann nur, dass es so verstanden Blödsinn ist.
Da weiß ich auch keinen Rat.
Ist

X

vielleicht zusätzlich ein Körper?
Es ist doch auch vollkommen unklar, wie man Vektoren

a_{n}

und

b_{n}

miteinander multiplizieren soll.
Wo kommt denn dieser komische Text her?

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16:07 Uhr, 17.04.2019

Der Text kommt aus einem Mathematik-Vorbereitungskurs Skript :-)

ermanus aktiv_icon

16:11 Uhr, 17.04.2019

Dieser Vorbereitungskurs scheint mir mit einer heißen Nadel
gestrickt worden zu sein.
Wenn du dir bei

X

den normierten "Vektorraum"

ℝ

oder

ℂ

vorstellst, sind die Aussagen des Satzes OK.
Im allgemeinen Falle ist bis auf die Summenbildung

a_{n} + b_{n}

alles Unsinn.

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16:21 Uhr, 17.04.2019

Hm, dann hätte ich noch 3 Fragen :-)

1. Aber

ℝ

bzw.

ℂ

ist ja kein wirklicher Vektorraum, sondern eher ein Körper, oder?

2. Gehen wir mal davon aus, dass es sich um einen allgemeinen Vektorraum handelt (also nicht nur

ℝ

und

ℂ) :

Kann ich dann sagen:
Es gibt nur einen Vektor bei dem die Norm gleich Null ist und das ist der Nullvektor?

3. Um zurück zur Aufgabe zu kommen sagen wir mal der Vektorraum sein

ℝ

bzw.

ℂ

(da es ja sonst alles keinen Sinn macht):
Kann ich dann sagen, dass

b_{n}

nur dann gleich Null ist, wenn

| | b_{n} | |

gleich Null ist?

D . h

. wenn

| | b_{n} | |

größer als Null ist, ist

b_{n} \neq 0

ermanus aktiv_icon

10:33 Uhr, 18.04.2019

Hallo,

zu 1.:

ℝ

ist ein 1-dimensionaler

ℝ

-Vektorraum
und

ℂ

ist ein 2-dimensionaler

ℝ

-Vektorraum.
Warum sollte ein Körper nicht zugleich auch ein Vektorraum sein?

zu 2.: Ja, so kannst du das sagen.

zu 3.: Ja, das ist korrekt.

Gruß ermanus

P.S.: bin jetzt weg ...

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10:47 Uhr, 18.04.2019

Alles klar, dann vielen Dank für deine Unterstützung :-)

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