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Komplexe Zahlen aufgaben brauche kurze erklärung

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Lösungsmenge

KennyDr aktiv_icon

15:44 Uhr, 16.07.2010

Moin, folgendes:

bin dabei für meine Mathe-Klausur zu lernen.
Habe bei der Aufgabe:
"Bestimmen SIe alle Lösungen für

z

element aus

C

der gleichung:

(3 + i) z^{2} + (- 8 + 4 i) z + 29 - 37 i = 0

"
alles soweit hinbekommen. Allerdings bleibt mir der letzte schritt(4) unklar. In der Lösung steht:

(1)

Division der Ausgangsgleichung durch

3 + i

gibt die äquivalente Normalform:

z^{2} + (\frac{- 8 + 4 i}{3 + i}) z + (\frac{29 - 37 i}{3 + i}) = 0,

daraus folgt

z^{2} + (- 2 + 2 i) z + 5 - 14 i = 0

(2)

Quadratische Ergänzung...ergibt

(z + {(- 1 + 2 i)}^{2} = - 5 + 12 i

(3)

Löse

w^{2} = - 5 + 12 i

mit ansatz:

w =

x+yi. blah blah,

w^{2} = x^{2} - y^{2} +

2xy
Dann halt Imaginär von Realteil trennen. Daraus folgt

x^{2} - \frac{36}{x^{2}} = - 5

Dann für

x^{2} = a

und folgend

a^{2} + 5 a - 36 = 0

folgt

a = 4

. also

x = 2

und

- 2

Dazu gehören

y 3

und

- 3

also

w = + (2 + 3 i)

und

- (2 + 3 i)

und nun folgt das, was ich nicht verstehe:

(4)

Lösungen der Ausgangsgleichung:

(z = w + 1 - i!)

z 1 = 3 + 2 i

und

z 2 = - 1 - 4 i

Das man auf

z 1

und

z 2

kommt ist mir relativ klar, denn

w \frac{1}{2} = \pm (2 + 3 i)

also

z = 2 + 3 i + 1 - i = 3 + 2 i

usw.

ABER: es ist mir schleierhaft woher die Formel "z=w+1-i" kommt. Dieses Fakultät-Zeichen soll wahrscheinlich garkeins sein.^^

Aber wo kommt diese komische Formel her.. ist das allgemein so?

Habe an einer anderen Aufgabe weiter gerechnet und habe dazu auch eine Frage:
Ich soll die Gestalt der Lösungsmenge in der komplexen Ebene beschreiben. in der Übungsaufgabe war das

Y = x^{2}

...also ne parabel... in der Klausur aufgabe komme ich auf

x^{2} = 0,

das bedeutet? Leere lösungsmenge?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Yokozuna aktiv_icon

16:32 Uhr, 16.07.2010

In (2) hast Du ja die quadratische Ergänzung gemacht:

${(z + (- 1 + i))}^{2} = - 5 + 12 \cdot i$

Jetzt zieht man die Wurzel:

$z + (- 1 + i) = \sqrt{- 5 + 12 \cdot i} = w$

Jetzt löst Du die Gleichung nach z auf:

$z + (- 1 + i) = - (- 1 + i) + w = 1 - i + w$

Das ist die Gleichung, von der Du Dich gewundert hast, woher sie kommt (das war übrigens

nicht das Fakultät-Zeichen sondern i).

Was die andere Aufgabe ganz unten angeht, kannst Du da die Aufgabenstellung etwas genauer beschreiben oder ist das schon die ganze Beschreibung?

KennyDr aktiv_icon

17:45 Uhr, 16.07.2010

achja, ok, dämlich...

danke dir!

zur zweiten aufgabe:

gegeben ist die Gleichung für

u

element aus

C

4 \cdot {| u - i |}^{2} + {(u - u')}^{2} = 4

Beschreiben Sie die Gestalt der Lösungsmenge in der komplexen Ebene.
(das

u'

soll ein konjugiertes

u

sein)

Dann habe ich folgendes gerechnet:
für

u = x +

4 \cdot | x +

- i |^{2} + ((x +

yi)

- (x -

))^{2} = 4

4 \cdot {(x + y - 1)}^{2} + (2 \cdot

)^{2} = 4

4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 - 4 y^{2} = 4

x^{2} = 0

hä? :-)

und nun weiß ich nicht weiter wie ichd as interpretieren soll.
Ist die lösungsmenge Leer?

Yokozuna aktiv_icon

18:36 Uhr, 16.07.2010

Da hast Du aber einige Rechenregel mißachtet. Für den Betrag einer komplexen Zahl gilt:

$| z | = | x + i \cdot y | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$

Wenden wir das auf Dein Problem an:

$4 \cdot {| x + i \cdot (y - 1) |}^{2} + {((x + i \cdot y) - (x - i \cdot y))}^{2} = 4$

$4 \cdot (x^{2} + {(y - 1)}^{2}) + {(2 \cdot i \cdot y)}^{2} = 4$

$4 \cdot (x^{2} + {(y - 1)}^{2}) - 4 \cdot y^{2} = 4$

Jetzt die Gleichung durch 4 teilen und ausmultiplizieren:

$x^{2} + y^{2} - 2 \cdot y + 1 - y^{2} = 1$

$x^{2} - 2 \cdot y = 0$

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Das sieht ganz nach einer Parabel aus.

KennyDr aktiv_icon

20:46 Uhr, 16.07.2010

Ich danke Dir,
ging ja richtig schnell!

+rep

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