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x²=1 in einer Gruppe

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tommy40629 aktiv_icon

16:48 Uhr, 04.03.2014

Hi,

sei G eine Gruppe, so dass für jedes Element

x \in G

gilt x²=1.
Zeige, dass G abelsch ist.

Was mir hier fehlt, ist die Definition, wie die einzelnen Elemente der Gruppe
miteinander verknüpft sind. z.B.: mit "mal","plus","-", o.a.

Eine Gruppe ist ja eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung

G \times G \to G, m i t (a, b) \mapsto a * b

1. die Assoziativität prüfen. Dazu braucht man aber 3 Elemente.
Dann muss man sagen: Seien

a, b, c, \in G

Laut der Definition oben, gilt

\forall x \in G, x^{2} = 1

=> a²=1, b²=1, c²=1

z.z.: (a²b²)c²=a²(b²c²)

(a²b²)c²=(1*1)c²=1*c²=1*1=1

a²(b²c²)=a²*(1*1)=a²*1=1*1=1 Also assoziativ.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

16:55 Uhr, 04.03.2014

Hallo,

das ist einer "unsauberen" Schreibweise geschuldet.
Eigentlich müsste es heißen: Sei

(G, *,^{- 1}, 1)

eine Gruppe, in der

x^{2} = 1

für alle

x \in G

gilt.

Da das Verknüpfungszeichen hier fehlt, darfst du dir im Prinzip selbst eins ausdenken.
Übereinkünfte: "+" nimmt man eher bei abelschen Gruppen. Und da du hier erst beweisen sollst, dass derartige Gruppen abelsch sind, wäre hier eher "

*

" oder "

\cdot

" angebracht.

Zum Rest: Da schon eine Gruppe vorliegt, musst du die Assoziativität nicht prüfen.

Du musst nur die Kommutativität prüfen!

Mfg Michael

tommy40629 aktiv_icon

17:08 Uhr, 04.03.2014

Ups, ja stimmt. Ist ja schon eine Gruppe.

Du schreibst

(G, *, - 1, 1)

die Notation sehe ich zum 1. Mal. Ich kenne nur z.B.:

(G, o)

Bei der Schreibweise

(G, *, - 1, 1)

, ist mit unklar, was die "-1" und die "1" ist.

Ich nenne die Abbildung mal f.

Die Elemente von G sind ja

x_{1}, x_{2}, . . .

. Da die

A b b i l d u n g, f : G \times G \to G, m i t (x_{1}, x_{2}) \mapsto G = f (x_{1}, x_{2})

geht, sind "-1" und "1" Elemente in G, aber dem "Zielmengen G"

Richtig?

michaL aktiv_icon

17:45 Uhr, 04.03.2014

Hallo,

bemerke bitte, dass die "

- 1

" ochgestellt ist! Es handelt sich dabei um die Abbildung, die einem Element

a

sein Inverses

a^{- 1}

zuordnet.

Mfg Michael

tommy40629 aktiv_icon

18:43 Uhr, 04.03.2014

Ok, danke!

Ich gehe noch einmal die Vorlesung durch, und hoffe, dass ich danach die Aufgabe lösen kann.

tommy40629 aktiv_icon

12:37 Uhr, 06.03.2014

Ich habe es noch mal versucht:

Gegeben: G ist eine Gruppe mit einer Verknüpfung

G \times G \to G, m i t (a, b) \mapsto a b

Wobei

(a, b) \in G \times G

und

a b \in G

Sei f die Abbildung aus

G \times G \to G

,also

f : G \times G \to G, m i t (a, b) \mapsto a b = f ((a, b))

Für jedes Element x aus G gilt

x^{2} = 1

Definition abelsche Gruppe:

Sei G eine Gruppe, G heißt abelsch, wenn

\forall a, b \in G :

ab = ba

z.z.:

ab = ba

Laut Voraussetzung gilt:

\forall x \in G : x^{2} = 1

Seien a,b aus G => a²=1 und b²=1

ab = a²b² = 1*1 = 1
ba = b²a² = 1*1 = 1

Und weil 1=1 => ab=ba.

Ich bin mir sicher, dass das falsch ist:
ab = a²b² = 1*1 = 1
ba = b²a² = 1*1 = 1

Irgend etwas fehlt bei der Abbildung??

tommy40629 aktiv_icon

17:27 Uhr, 06.03.2014

Ich glaube, ich lese die Abbildunsvorschrift falsch.

x^{2} = 1

muss man schreiben als

x^{2} - 1 = 0

Die Verknüpfung in G ist eine Abbildung

f : G \times G \to G

, wobei jedes geordnete Paar

(g_{1}, g_{2}) \in G \times G

, abgebildet wird auf

g_{3} \in G

. In Zeichen:

(g_{1}, g_{2}) \mapsto g_{3}

, wobei hinter dem

g_{3}

dann steht, wie dieses Element genau entsteht.

Eine mögliche Abbildungsvorschrift könnte sein:

f : G \times G \to G, (g_{1}, g_{2}) \mapsto g_{1} + g_{2} - 555

Die Definition der Gruppe, Verknüpfung und Abildung auf,

\forall x \in G : x^{2} = 1

, abgewendet:

f : G \times G \to G, (x, x) \mapsto x^{2} = 1

Ist diese Abbildungsvorschrift richtig??

Sina86

21:14 Uhr, 06.03.2014

Hallo tommy,

nein, die Abbildungsvorschrift

f : G \times G \to G, (x, x) \mapsto x^{2} = 1

ist nicht richtig, da sie nicht beschreibt was mit Paaren

(a, b)

im Falle

a \neq b

passiert.

Das

f

stört hier ein wenig. Lass uns lieber (wie es konventioneller ist) ein anderes Symbol für die Verknüpfung verwenden:

* : G \times G \to G

(da die Verknüpfung nicht weiter erläutert wird, lässt man die Abbildungsvorschrift am Besten einfach weg). Da nun

(G, *)

eine Gruppe ist, gelten folgende Eigenschaften:

1 .) \exists e \in G \forall g \in G : * (1, g) = g

2 .) \forall g \in G \exists \hat{g} \in G : * (g, \hat{g}) = e

3 .) \forall a, b, c \in G : * (a, * (b, c)) = * (* (a, b), c)

Nun wirst du zugeben, dass das nicht besonders elegant aussieht, deswegen schreibt man

a * b := * (a, b)

. Und da es unendlich viele Gruppen mit unendlich vielen unterschiedlichen Verknüpfungen gibt, hat man keine Lust, jeder Verknüpfung ein eigenes Symbol zu geben. Daher hat man sich (nach Konvention) auf zwei Symbole

+

und

\cdot

geeinigt. Dabei ist für gewöhnlich, wie Michael bereits sagte, das

+

für kommutative Verknüpfungen reserviert. Man verwendet zwei Symbole, da man später zu Ringen und Körpern etc. kommen möchte, für die man zwei Verknüpfungen benötigt...

Nun wird in deiner Gruppe also

\cdot

verwendet. Wiederum bei Konvention schreibt man in diesem Fall

\hat{g} = : g^{- 1}

für die inversen Elemente,

e = : 1

und

\cdot (a, b) = a \cdot b = : a b

(man lässt also das Symbol unter den Tisch fallen).

Nun zu deinem Beweis. Du schreibst:

a b = a^{2} b^{2}

Warum sollte diese Gleichung stimmen?

Viele Grüße
Sina

tommy40629 aktiv_icon

22:31 Uhr, 06.03.2014

Danke Sina!

Ich mache das morgen weiter, und poste meine Idee hierunter.

tommy40629 aktiv_icon

13:50 Uhr, 09.03.2014

Da ich noch 35 Stunden Vorlesung durchgehen muss.
Muss ist das mein letzter Gedanke zu dieser Aufgabe.

Da es ein Gruppe ist, muss es ein neutrales Element geben.
Es muss gelten

a e = a

Da für jedes Element der Gruppe gilt, dass wenn man es mit sich selbst multipliziert, dann erhält man die 1, muss für das neutrale Element gelten

a^{2} e = 1 e

Wenn man auf Bekanntes aus der Schule zurückgreifen darf, dann ist

a^{2} * 1 = a^{2}

was wiederum 1 ist.

Also das neutrale Element ist die 1.

Inverses Element:

a^{2} * \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{1} = 1

stimmt auch.

Man muss jetzt zeigen, dass

a b = b a

ist.

Da gilt:

\forall x \in G : x^{2} = 1

und weil

a b \in G

a b = a^{2} b^{2} = 1 * 1 = e * e = a^{2} * \frac{1}{a^{2}} b^{2} * \frac{1}{b^{2}} . . . . = b^{2} a^{2}

Anderer Ansatz

Wenn

a^{2} b^{2} = b^{2} a^{2}

, was heißt, dass beide Elemente gleich sind, dann hat

a^{2} b^{2}

und

b^{2} a^{2}

das gleiche Inverse Element

Das Inverse zu

b^{2} a^{2}

ist

\frac{1}{b^{2} a^{2}}

Wenn ich zeigen kann, dass:

a^{2} b^{2} * \frac{1}{b^{2} a^{2}} = 1

dann ist es gezeigt.

a^{2} b^{2} * \frac{1}{b^{2} a^{2}} = a^{2} b^{2} * \frac{1}{b^{2} a^{2}} * 1 = a^{2} b^{2} * \frac{1}{b^{2} a^{2}} a^{2} b^{2} * \frac{1}{a^{2} b^{2}} = . . . .

Ich weiß nicht, wie ich diese

x^{2} = 1

anwenden soll. Nach dieser Gleichung kann man alle Variablen, die ein Quadrat haben als 1 schreiben.

Aber 1*1*1/1*...*1 mit allen möglichen Kombinationen ist immer 1.

Da gäbe es nicht zu zeigen.

G \times G \to G, (a, b) \mapsto a b

Wie ich hier das x²=1 einordnen soll. Vielleicht

x^{2} \mapsto 1

????

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