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x^e^x ableiten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

fragix aktiv_icon

14:49 Uhr, 19.11.2012

Hallo zusammen!
Für eine Analysis - Übung sollen wir

x

hoch

e^{x}

ableiten.
Die Funktion ist stetig auf

R + \to R +,

oder?
Ich habe nun wolframalpha gefragt. Dieser bekommt

e^{x} \cdot x

hoch

e^{x - 1} + e^{x} \cdot x

hoch

e^{x} \cdot ln (x)

Ich verstehe den ersten Summanden und bin mir auch bewusst, dass nun noch der Exponent abgeleitet werden muss. Nur: Warum steht dort ein

+

und nicht ein*?
Und: Ich meinte

x

hoch

e^{x}

gibt in der Ableitung nach dem Exponenten:

x

hoch

e^{x} \cdot ln (x)

. Woher kommt das

e^{x}

im zweiten Summanden des Resultats?
Herzlichen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

15:00 Uhr, 19.11.2012

y = x^{e^{x}}

ln (y) = e^{x} \cdot ln (x)

abgeleitet:

\frac{y'}{y} = e^{x} \cdot \frac{1}{x} + e^{x} \cdot ln (x)

\to

y' = [e^{x} \cdot \frac{1}{x} + e^{x} \cdot ln (x)] \cdot x^{e^{x}}

und das kannst du sicher selbst noch ausmultiplizieren und vereinfachen ?

\to

fragix aktiv_icon

15:06 Uhr, 19.11.2012

Ja, klar, vereinfachen geht schon.
Ah, Kettenregel in Kettenregel???

rundblick aktiv_icon

15:11 Uhr, 19.11.2012

??
hm..

links

: (ln (y))' = \frac{y'}{y} ... \to

siehe "logarithmisches Differenzieren"

rechts

: (e^{x} \cdot ln (x))'

nun wirklich mit der elementaren "Produktregel"

usw..

ok?

fragix aktiv_icon

15:17 Uhr, 19.11.2012

Super! Herzlichen Dank!

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