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y(0) € ]0,Pi/2[ => y konvex auf [-oo,0]

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Schurli aktiv_icon

21:40 Uhr, 19.02.2020

Es gelte

y ʹ (t) = \sin (y (t)) \forall t \in ℝ,

y (0) = y_{0} \in ℝ

Man zeige:

y_{0} \in] 0, \frac{π}{2} [\Rightarrow

y

konvex auf

] - \infty, 0]

Mein Beitrag:
Zu zeigen haben wir, dass

y ʺ \geq 0 \forall y \in] - \infty, 0]

. Es ist

y ʺ = \sin (y) \cos (y) .

Aber wenn wir die Werte aus dem Intervall

] - \infty, 0]

einsetzen, dann wird man unterschiedliche Vorzeichen von y'' entdecken. Man muss sich also eine Möglichkeit überlegen, wie man hier die Anfangswerte erfolgreich einbauen kann.
Jedenfalls können wir sehen, dass

y (0) = 0

schon

y (t) = 0 \forall t \in ℝ

bewirkt.Folglich kann die Abszisse NICHT von einer anderen Lösung aufgrund von Piccard-Lindeöl geschnitten werden, also ist aufgrund des Zwischenwertsatzes die Lösung gänzlich darunter.
Das Problem ist aber, dass

π / 2

KEINE Lösung der Differenzialgleichung liefert. Daher kann man auch nicht schließen, dass es davon eingeschlossen wird.

Welche Informationen können wir noch aus den Voraussetzungen schließen? Nun, dass zum Beispiel

y ʹ (0) \in] 0, 1 [.

Aber das Problem ist, dass das nur ein einziges

t

ist. Danach wissen wir nicht mehr, wie das

y

weitergeht, da nur bekannt ist, wie sich die Steigung von

y

bei unterschiedlichen

y

ändert, NICHT jedoch wie sie sich ändert, wenn das

t

sich ändert. Bei

y (1)

könnte folglich schon wieder eine negative Steigung stattfinden.

Hat Jemand eine Idee wie man die Anfangswerte einbauen könnte? Es scheint nicht aus den Voraussetzungen folgen zu können, da keine nötigen Zusammenhänge angegeben wurden und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz auch nur sehr beschränkt weiterhilft!

Wäre für Hilfe dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

07:40 Uhr, 20.02.2020

> Zu zeigen haben wir, dass

y'' \geq 0 \forall y \in] - \infty, 0]

.

Nein. Tatsächlich zu zeigen ist

y'' (t) \geq 0 \forall t \in] - \infty, 0]

, das ist ganz was anderes!!!

> Jedenfalls können wir sehen, dass

y (0) = 0

schon

y (t) = 0 \forall t \in ℝ

bewirkt. Folglich kann die Abszisse NICHT von einer anderen Lösung aufgrund von Piccard-Lindeöl geschnitten werden, also ist aufgrund des Zwischenwertsatzes die Lösung gänzlich darunter.

... gänzlich DARÜBER meinst du wohl. Das wäre richtig, ja.

> Das Problem ist aber, dass

\frac{π}{2}

KEINE Lösung der Differenzialgleichung liefert. Daher kann man auch nicht schließen, dass es davon eingeschlossen wird.

Das stimmt, aber warum versuchst du es nicht mit

π

? Auch diese Grenze kann mit der gleichen Picard-Lindelöf-Argumentation nicht überschritten werden, so dass die Lösungsfunktion im Intervall

] 0, π [

eingesperrt ist. Das ergibt

y' = \sin (y) > 0

und damit Monotonie der Funktion

y (t)

, was zu

0 < y (t) \leq y (0) < \frac{π}{2}

für alle

t \leq 0

führt. Da du oben ja schon über

y'' = \cos (y) \sin (y)

gesprochen hast, dürfte dir der Rest dann klar sein.

P.S.: Man hätte natürlich auch gleich die DGL lösen können gemäß

y (t) = 2 \arctan (\tan (\frac{y_{0}}{2}) e^{t})

, aber das war wohl nicht die Intention der Aufgabe. :-)

Schurli aktiv_icon

16:43 Uhr, 20.02.2020

Zu zeigen bleibt also noch:
Die Funktion

y ʺ = \cos (y) \sin (y)

hat als Minimum im Intervall

y \in] 0, π / 2 [

einen positiven Wert!Es ist

(y ‴ = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0) \Leftrightarrow \cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow (x = \frac{π}{4} + 2 k_{1} π

)

\lor

(

x = \frac{3 π}{4} + 2 k_{2} π), k_{1}, k_{2} \in ℤ .

In unserem gefragten Intervall muss also

k = 0

sein. Da die zweite Ableitung vom gesuchten Ausdruck

- 4 \sin (x) \cos (x)

ist, sieht man welcher der beiden Lösungen zu einem Minimum und welches zu einem Maximum führt, je nach Vorzeichen im gegebenen Intervall.

HAL9000

16:46 Uhr, 20.02.2020

Eigentlich willst du doch nur Konvexität zeigen??? Und für

y \in] 0, \frac{π}{2} [

ist sowohl

\sin (y) > 0

als auch

\cos (y) > 0

, und damit

y'' (t) = \cos (y) \sin (y) > 0

für alle

t \leq 0

. Ich weiß nicht, welche Idee du mit deiner Minimumsuche verfolgst. ?(

Schurli aktiv_icon

16:52 Uhr, 20.02.2020

Durch die Minimumsuche kann ich ja das GESAMTE PRODUKT auf einmal erfassen ohne mich zu sehr anstrengen zu müssen und blöd irgendwas einsetzen muss von dem ich hoffe, dass es das Minimum ist. Es soll ja

y ʺ > 0

sein. Wenn also das Minimum von

y ʺ

größer 0 ist, dann ist auch

y ʺ (t) = f (y) > 0

für ALLE

y

. Ohne dem war ich mir einfach nicht sicher ob ich nicht irgendein

y

übersehe.

HAL9000

16:59 Uhr, 20.02.2020

Für mich sieht das nach wie vor nach Kanonen-auf-Spatzen-Schießen aus. Zumal man für

\cos (y) \sin (y) = \frac{1}{2} \sin (2 y)

keinen Ableitungsbombast braucht, um die Extrema zu bestimmen, das geht doch auch mit Kenntnissen zum Grundverlauf der trigonometrischen Funktionen. Na egal, mancher macht sich halt gern mehr Arbeit als nötig. ;-)

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