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y(0) ungleich 0 => y unbeschränkt

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
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Schurli

Schurli aktiv_icon

16:40 Uhr, 11.01.2020

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Gegen sei die Differentialgleichung yʹ=arctan(y) in
Man zeige: y(0)0y unbeschränkt

Beweisversuch von mir:
Nehmen wir an, dass y beschränkt ist. Folglich ist aufgrund der Beschränktheit der Arcutstanges-Funktion auch arctan(y) beschränkt und somit ist auch fy=11+y2 beschränkt und als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig, wobei f:=f(y). Also liegt laut dem Satz von Piccard-Lindelöf hier Eindeutigkeit vor.
Wegen y(t)ʹ=arctan(y(t))=arctan(0)=0 genügt y(t)=0 der Differenzialgleichung. Aufgrund der vorher bewiesenen Beschränktheit und Stetigkeit der partiellen Ableitung bezüglich y und der damit einhergehenden Eindeutigkeit, muss also der Anfangswert (0,0) y eindeutig definieren und somit ist y(0)=0, ein Widerspruch zu y(0)0, also gilt die Behauptung. q.e.d.

Ist meine Argumentation richtig?

Wäre für eine kurze Überprüfung dankbar.





Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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ledum

ledum aktiv_icon

17:07 Uhr, 11.01.2020

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Hallo
richtig ist einzig, dass die Lösung y=0 für den Anfangswert y(0)=0 eine beschränkte Funktion ist.
Du sollst zeigen, dass für ALLE anderen Anfangswerte y(t) unbeschränkt ist, dass die Ableitung y' beschränkt ist hat damit nichts zu tun, und du kannst auch keinen Widerspruchsbeweis drauf aufbauen.
ich sehe also keinen Beweis.
wenn y(0)>0 folgt y'>0 die Funktion steigt, d-h. da arctan steigt steigt y weiter, y nähert sich π2, dann kann y nie mehr kleinere Steigung haben, ist also unbeschränkt. entsprechend für y(0)<0 nach unten unbeschränkt.
Gruß lul
Schurli

Schurli aktiv_icon

23:15 Uhr, 11.01.2020

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Hallo Ledum!

Mir ist der Schluss von einem speziellen t auf alle t noch ein bisschen zu rasch und rätselhaft.
Wenn y(0)>0, dann folgt aus der Monotonie von der Arctan-Funktion, dass arctan(y(0))>arctan(0)=0 und somit lediglich yʹ(0)>0. Wieso soll man daraus sofort sagen können, dass diese für ALLE t gilt? Die Funktion kann sich doch irgendwie verhalten jetzt. Wir kennen ja nur den Zusammenhang zwischen Lösungsfunktion und ihrer Ableitung aber nicht annähernd wie sich y(t) bei unterschiedlichen Eintragungen von t verhält.

Kannst du das ganz kurz erläutern?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

23:54 Uhr, 11.01.2020

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Hallo
y'>0 folgt y(0+dt)>y(0= folgt y'>y'(0) folgt y(2dt)>y(dt) folgt y'(2dt)>y'(dt) usw. y' maximal π2 aber nie mehr kleiner als es vorher war, da arctan monoton steigend
das hatte ich nur angedeutet, natürlich muss man das ordentlicher aufschreiben. ich liefer höchstens Hilfen
Gruß ledum
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