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z-Transformation Aufgabe

Universität / Fachhochschule

Tags: Z-Transformation

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10:47 Uhr, 23.05.2017

Hallo,

ich würde gerne die Gleichung im unteren Bild berechnen.
Dazu habe ich die ebenfalls auf dem Bild dargestellte Tabelle gegeben.

Mein Problem ist nun, dass ich nicht genau weiß für was das "k" in de Tabelle steht.
Entspricht das meinem

n, T

oder

n \cdot T

T

ist bei mir das Abtastintervall und

n

praktisch die Zahl der Abtastung.

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11:40 Uhr, 23.05.2017

So aus dem Kontext gerissen ist das schwer zu sagen.
Worum geht es hier überhaupt? Was ist

x

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11:56 Uhr, 23.05.2017

"Worum geht es hier überhaupt?"
Um eine Anwendung der z-Transformation in der Regelungstechnik.
Das komplett zu erklären würde aber etwas dauern.

Darum mal kurz zur gegebenen Funktion:
Ich habe die gegebene kontinuierliche Funktion im Zeitbereich:

0,5 \cdot σ (t) - 0,5 \cdot e^{- 2 \cdot t}

diskretisiert für die Werte

t = n \cdot T (T

ist Abtastrate

= 0,01

und

n

steht für die n-te Abtastung dh. den n-ten Wert mit

n = 0,1,2,3, ...)

Ich betrachte also die Werte der gegebenen Funktion für die gilt:

t = n \cdot T

.

Nun soll ich die dadurch erhaltene diskrete Funktion z-transformieren und dann mit

\frac{z - 1}{z}

multiplizieren. (Warum sei mal dahingestellt).

Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß wie die z-Transformierte von

e^{- 2 \cdot n \cdot T}

lautet.
Ich vermute, dass das

k

in der Tabelle für mein

n

steht.
Dann könnte ich vielleicht mit der Formel

(4)

ansetzen:

e^{- 2 \cdot n \cdot T} = {(e^{n})}^{- 2 T}

Aber ich darf jezt ja nicht einfach die Formel

(4)

für den Wert

e^{n}

anwenden und die erhaltene Transformierte dann mit

^(- 2 T)

modfizieren.
Also:

{(\frac{z}{z - e})}^{- 2 T}

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11:59 Uhr, 23.05.2017

Ich kenne die

z

-Tranformationen nur für Zufallsvariablen.
Ich bin aber nicht sicher, ob man hier damit zu tun hat.
Sorry, Regelungstechnik sagt mir nichts.

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12:16 Uhr, 23.05.2017

Ok, Danke trotzdem.

Ich fasse die Frage nochmal zusammen:
Wie komme ich (durch meine Tabelle) auf die z-Transformation von:

e^{- 2 \cdot n \cdot T}

pleindespoir aktiv_icon

13:23 Uhr, 23.05.2017

Ich vermute es handelt sich hier um eine Zuordnungstabelle der Laplacetransformation

de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation

das k steht für "kurz", und das z für "zack"

;-)

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13:30 Uhr, 23.05.2017

Die Tabelle ist für die z-Transformation.
Das passt schon. Steht auch drüber.

DrBoogie aktiv_icon

13:39 Uhr, 23.05.2017

z

-Transformation in der Systemtheorie ist fast dasselbe wie Laplace-Transformation.

http//www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/z-transformation-von-signalen/grundlagen-der-z-transformation/zusammenhang-zwischen-z-transformation-und-laplace-transformation.html

Zumindest auf die Frage, was

k

ist, ist die Antwort klar: das ist nur ein Index.
Per Definition wird

z

-Transformation auf einen Folge

x (0), x (1), x (2), . . .

angewendet, oder kürzer

(x (k))

.

www.tnt.uni-hannover.de/edu/vorlesungen/DigSig/downloads/WS0910/digsig-03.pdf

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13:43 Uhr, 23.05.2017

Die Frage ist halt, ob die Folge lautet:

x (0 T), x (1 T), x (2 T), ...,

also x(kT)
oder so wie du geschrieben hast.

Ich denke bei deiner Form handelt es sich um einen Spezialfall für

T = 1

.
Aber bin mir nicht sicher.

DrBoogie aktiv_icon

13:53 Uhr, 23.05.2017

Das können wir hier nicht wissen.
Es kommt auf Eure Definition an.

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14:01 Uhr, 23.05.2017

Welche Definition? xD
Unser Prof hat uns halt die Tabelle gegeben.
Zuvor haben wir immer mit

n \cdot T

gerechnet.

Bin aber auf eine zweite Tabelle aus einer anderen Quelle gestoßen.
Wenn man da die Ausdrücke mit dem Sinus mit denen aus der Skript-Liste vergleicht sieht man, dass

α = a \cdot T_{A}

ist und damit das

k

wirklich nur der Faktor der Reihe:
f(kT) mit

k = 0,1,2,3, . .

. ist.
Das heißt das

k

entspricht meinem

n

in der Aufgabe.

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21:17 Uhr, 23.05.2017

Und das macht die Sache nicht einfacher.
Gibt es vielleicht irgend eine Regen (wie der Verschiebungssatz,...) die ich anwenden kann?

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