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z.Z.: Epsilon Umgebung ist immer offen!

Schüler Gymnasium,

Tags: Analysis, mengen, Offen, offene menge, Topologie

NoName2 aktiv_icon

00:17 Uhr, 15.02.2017

Guten Abend,

ich versuche gerade meine Mitschriften zu verstehen, scheitere jedoch kläglich daran.
In der Vorlesung wurde wie folgt bewiesen, dass jede Epsilon Umgebung offen ist.

Behauptung:

U ε (a)

ist immer offen! also: Für alle

x

aus

ℝ,

für alle

ε > 0

Ok, bis dorthin ist die Grundidee des Beweises klar. Ich versuche zu beweisen, dass es immer eine noch so kleine delta-Umgebung gibt, die Teilmenge der epsilon-Umgebung ist.

Wähle:

δ := \frac{1}{2} min (δ 1 \cdot δ 2)

Hier habe ich die ersten Verständnisprobleme. Warum

\frac{1}{2}

? Was heißt dieses min? Klar, mindestens, aber was soll bringt mir das genau?

Weiter geht es wie folgt:

Wobei

δ 1 := b - (a - ε) > 0

Verstehe ich wieder nicht. Habe es versucht mir auf einer Gerade vorzustellen, aber dann müsste es doch

a - ε - b

heißen?

sowie

δ 2 := a + ε - b > 0

Diese Definition ist jedoch für mich schlüssig.

Somit

δ > 0 \Rightarrow U δ (b)

Teilmenge von

U ε (a)

Gezeigt ist: Es existiert (mind.1)

δ > 0 : U δ (b)

ist Teilmenge von

U ε (a),

für alle

b

aus

M, M = U ε (a)

Das klingt logisch, aber mir ist noch nicht bewusst, wie ich jetzt auf diese Aussage gekommen bin.

Über eure Hilfe freue ich mich sehr!

Danke schon im Voraus,
NoName2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Simor aktiv_icon

00:39 Uhr, 15.02.2017

δ = \frac{1}{2} min (δ_{1}, δ_{2})

min

steht hier nicht für mindestens sondern für Minimum, also die kleinere Zahl von

δ_{1}

und

δ_{2}

. Das

\frac{1}{2}

ist dann einfcah nur noch ein Vorfaktor, um

δ

echt kleiner zu machen (man könnte den Beweis auch führen, wenn man da

\frac{1}{7}

oder

\frac{13}{14}

stehe hätte, hauptsache irgendetwas kleiner

1)

.

Die Zeile sagt im Prinzip "Wähle ein

δ

so, dass gilt:

δ < δ_{1}

und

δ < δ_{2}

". Nur das hier halt noch genau angegeben wird, wie man das machen kann (und dadurch auch, dass man das machen kann).

Wenn du versuchst es auf einer Geraden vorzustellen: wir haben ein

b \in U_{ε} (a)

D . h

. auf Geraden liegen (von links kommend erst

(a - ε),

dann a und

b (\in

unbekannter Reihenfolge) und schließlich

(a + ε)

δ_{1}

und

δ_{2}

sind dann einfach die Abstände von

b

zur linken bzw. rechten Grenzen.

Dadurch, dass ob

\frac{1}{2} \cdot min

gewählt wurde, wird sicher gestellt, das die delta-Umgebung um

b

diese Grenzen der epsilon-Umgebung nicht erreicht, also komplett in ihr liegt.

NoName2 aktiv_icon

11:28 Uhr, 15.02.2017

Tausend Dank! Jetzt habe ich es verstanden!

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