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zZ: Rang (AB) <= max (Rang A, Rang B)

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen, Rang einer Matrix

LaElW aktiv_icon

14:27 Uhr, 03.10.2012

Hallo,

ich soll zeigen, dass für das Produkt von zwei Matrizen A el M_(lm) (K)

, B

el M_(mn)

(K)

stets gilt: Rang(AB)

\leq max

(Rang

A,

Rang

B)

was wir dazu aufgeschrieben haben:

der Rang kann ermittelt werden durch die Dimension des Bildes einer Matrix. Die Matrizen A und

B

können anders ausgedrückt werden, indem man die linearen Abbildungen

σ

und

χ

folgendermaßen definiert:

σ :

eine lineare Abbildungen:

K^{m} \to K^{l},

beschrieben durch die Matrix A

χ :

eine lineare Abbildungen:

K^{n} \to K^{m},

beschrieben durch die Matrix

B

AB ist dann eine Hintereinanderausführung von

σ

und

χ,

also:

(σ \cdot χ (K^{n}))

.

Rang (AB)=dim(sigma

\cdot χ (K^{n})) = dim (σ (χ (K^{n})))

χ (K^{n}) \subseteq K^{m} \to n \leq m

also

dim (σ (χ (K^{n}))) \leq dim (χ (K^{m})) =

Rang A

bis hier hin okay, aber dann soll man dies analog für Rang (AB)<=Rang(B) machen und irgendwie verstehe ich momentan nicht wie das gehen soll. Wieß da evtl. jmd weiter? Außerdem ist mir noch nicht klar, warum Max (Rang

A,

Rang

B)

gilt. Kann mir da vlt. auch jmd auf die Sprünge helfen? Das wäre sehr nett!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

15:20 Uhr, 04.10.2012

Hallo,

der Beweis will (in zwei Schritten) zeigen, dass
(i)

rang (C) \leq rang (A)

und
(ii)

rang (C) \leq rang (B)

gelten.

Wenn das klar ist, dann gilt aus ordnungstheoretischen Überlegungen sofort, dass

rang (C) \leq max (rang (A), rang (B))

gilt.

(i) argumentiert direkt über die Dimension des Bildes von

\vec{x} \mapsto C \vec{x}

im Vergleich zu

\vec{y} \mapsto A \vec{y}

.

Bei (ii) geht die Argumentation über die Dimension des Kerns der Abbildungen

\vec{x} \mapsto C \vec{x}

im Vergleich zu

\vec{x} \mapsto B \vec{x}

.

Die Dimension des Kerns und die Dimension des Bildes einer linearen Abbildung

φ : K^{r} \to K^{s}

sind über

\dim (\ker (φ)) + \dim (Im (φ)) = r

miteinander verbunden.

Viel Erfolg!

Mfg Michael

LaElW aktiv_icon

19:27 Uhr, 05.10.2012

Danke für deine Antwort!

Also

i)

denke ich habe ich so gemacht wie du gesagt hast.

Eine Zwischenfrage zu dem

max

(Rang

(A),

rang

(B)) :

muss der Rang von A nicht immer größer sein als der Rang von B?

zu ii) die Argumentation über den Kern ist mir leider nicht klar. Kannst du mir vlt. noch einen Tipp geben? Das wäre seht nett. (Wenn es ans Abstrakte geht brauche ich leider immer etwas lange...)

LG Laura

michaL aktiv_icon

20:54 Uhr, 05.10.2012

Hallo,

nein, der Rang von

A

muss nicht immer größer als der von

B

sein. Warum auch?

Was die Argumentation bei (ii) angeht: Vielleicht hast du nicht realisiert, dass

rang (A) = \dim (Im (φ_{A}))

gilt, wobei

φ_{A}

die Abbildung

\vec{x} \mapsto A \vec{x}

meint.

Soll heißen: Um

rang (C) \leq rang (B)

zu beweisen, kannst du auch statt dessen über die entsprechenden Kerne gehen!

Mfg Michael

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