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zZ: jd Permutationsmatrix hat einen Eigenwert
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Eigenwert, Permutationsmatrix
 
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Hallo, ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme: "Zeige: Ist ein beliebiger Körper, so hat jede Permutationsmatrix einen Eigenwert über K" in diesem Zusammenhang haben wir bisher den Fundamentalsatz der Algebra behandelt. Ich bin mir nicht sicher, ob er wirklich was damit zu tun hat, aber da ich zeigen soll, dass es mind. einen Eigenwert gibt bedeutet dies ja, dass entweder für die nxn Matrix gilt, dass ungerade ist (dann gibt es mind 1 reelle Lösung) oder mindestens der Lösungsbereich der Bereich der komplexen Zahlen ist... Leider weiß ich weder ob ich den Fundamentalsatz überhaupt richtig verstanden habe, noch ob er mir hier weiter hilft... Schreibe am Montag die Klausur und stehe im Moment total auf dem Schlauch. Wäre nett, wenn mir vlt. jmd weiter helfen könnte. Liebe Grüße Laura Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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ich wüsste auch nicht in wiefern der fundamentalsatz da hilfreich sein könnte, denn der bezieht sich ja auf die komplexen zahlen. in der aufgabe hast du einen beliebigen körper gegeben. jedenfalls hat jede permutationsmatrix mit sicherheit den eigenwert ist auf jeden fall körperelement), und zwar mit dem eigenvektor wie man sich vorstellen kann. lg |
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Ja okay, der Fundamentalsatz macht wahrscheinlich wirklich keinen Sinn. Kann man vlt. darüber argumentieren, dass die Eigenwerte ja die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind und das charakteristische Polynom ist . Außerdem kann man A durch Spaltentausch auf die Form einer Einheitsmatrix bringen (Spaltentausch verändert ja lediglich das Vorzeichen der Determinante) , sodass auf der Diagonalen dann lauter stehen, also oder steht. . abhängig von der Anzahl der getauschten Spalten ist der Eigenwert oder . Das ist zwar kein richtiger Beweis, aber kann man das so sagen, oder wie könnte man zeigen, dass es einen Eigenwert gibt? Danke schon mal für eine Antwort :-) |
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nein das geht nicht. die matrix, von der du die determinante suchst, hat doch die schon auf der diagonale (entweder oder . wenn du dann "zurückpermutierst", dann stehen die irgendwo, aber nicht notwendig auf der diagonale. aber gefällt dir denn mein erster vorschlag nicht? lg |
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Okay stimmt, das war Unsinn was ich gemacht habe. Sorry, aber ich glaube ich habe erst jetzt deine Antwort richtig verstanden. Dadurch, dass es eine Permutationsmatrix ist, also eine 1 einmal in jeder Zeile und Spalte stehen muss, muss einmal auch auf der Diagonalen stehen, somit ist eine Lösung auf jeden Fall 1. Oder, das steckt in deiner Antwort mit drin? |
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nein. erstmal muss nicht auf der diagonalen stehen, schau dir zum beispiel die 2xx2-permutationsmatrixmatrix (gedrehte einheitsmatrix, sozusagen) an. außerdem wäre das noch lange kein grund dafür, dass auch 1 ein eigenwert ist. in meinem ersten post habe ich gemeint, dass man allein durch etwas rumüberlegen und vorstellungskraft darauf kommen kann, dass 1 immer eigenwert ist, nicht weil man irgendwie sieht, dass es nullstelle des char. polynoms ist, sondern anhand der definition für einen eigenwert für ein . nimmst du als irgendeinen vektor mit nur gleichen einträgen, . . und weil in jeder zeile von A genau eine 1 steht und sonst immer 0 ist klar, dass also ist 1 ein eigenwert von A. lg |
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Oh okay, diese Definition hatte ich schon wieder ganz vergessen... Danke!! |
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