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zehnstellige Zahl
Sonstiges
Tags: Gleichungen, Zahlen
 
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hallo zusammen! ich hab ein rätsel bekommen bei dem ich hilfe benötige: eine zahl besteht aus allen zehn ziffern (0-9), die ersten beiden zahlen (also die kobination der ersten beiden zahlen) ist durch 2 teilbar, die ersten drei zahlen durch 3 usw. |
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Hmmm...ich bin noch am Überlegen, teile aber schonmal meine Anfangsüberlegungen mit: Fange hinten an: - Die Zahl mit allen 10 Ziffern muss durch 10 teilbar sein, also muss die letzte Ziffer eine 0 sein - die Zahl mit den ersten 5 Ziffern muss durch 5 teilbar sein, durch 5 teilbar heißt, dass die Zahl entweder mit 0 oder mit 5 enden muss. Da die 0 schon für die letzte Stelle verbraucht ist, muss auf der 5. Stelle eine 5 stehen - die Zahl mit den ersten 2, 4, 6, 8 Ziffern muss jeweils durch 2 teilbar sein, diese Ziffern an 2., 4., 6., 8., Stelle müssen also gerade sein: 2,4,6,8, Reihenfolge auf den PLatzierungen bisher noch unklar - bleiben die Zahlen 1,3,7,9, für die Stellen 1,3,7,9, auch hier ist die Platzierung noch unklar Soweit bisher: _ _ _ _ 5 _ _ _ _ 0 ... Fortsetzung folgt, ich muss noch weiter überlegen...aber vielleicht ist dir mit diesem Denkanstoß auch schon ein wenig weitergeholfen. Wenn's bis hierhin Fragen gibt, kannst du dich ja melden |
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danke für die schnelle antwort, aber so weit war ich schon. hab angefangen systematisch alles durchzuprobieren aber das ist auch mit diesen erkenntnissen eine heidenarbeit. kann man noch irgendwas ausschließen oder sicher sagen? |
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- von den ersten drei Ziffern muss die Quersumme durch 3 teilbar sein, ebenso von den zweiten drei Ziffern, damit die Zahl der ersten 6 Ziffern durch 3 teilbar ist. Also muss die Summe aus 5 und den zwei benachbarten Zahlen (beide gerade) durch 3 teilbar sein. man hat noch die Zahlen 2,4,6,8 für die Nachbarplatze zur Verfügung, entweder stehen auf den Nachbarplätzen die 2 und die 8 oder aber die 4 und die 6. Andere kombinationen können ausgeschlossen werden - Die Zahl der ersten 4 Ziffern muss durch 4 teilbar sein, das ist der Fall, wenn die Zahl bestehend aus der 3. und 4. Ziffer durch 4 teilbar ist. Für die 3.und 4. Ziffer kommen also folgende Kombinationen in Frage: 12 16 24 28 32 36 44 48 52 56 64 68 72 76 84 88 92 96 da die dritte Ziffer ungerade sein muss, fallen 24, 28, 44,48,...raus, und man sieht, dass die 4. Ziffer entweder eine 2 oder eine 6 sein muss Also haben wir jetzt zwei Möglichkeiten: _ _ _ 6 5 4 _ _ _ 0 oder _ _ _ 2 5 8 _ _ _ 0 Soweit, sogut...mal schauen, wie's weiter geht. wenn du eine Idee hast, schreib sie kurz, vielleicht können wir uns ja ergänzen... |
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So, weitere Überlegungen: - ich habe mit der Zahl aus den ersten 8 Ziffern weitergemacht. Diese ist durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus den letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist, also die Zahl, die aus Ziffer 6,7,8 gebildet wird. Die Ziffer auf Platz 6 ist entweder die 4 oder die 8 Die Ziffer auf Platz 7 ist entweder die 1,3,7 oder 9 Die Ziffer auf Platz 8 ist entweder die 2 oder 8 (wenn auf Platz 6 die 4 steht) oder die 4 oder 6 (wenn auf Platz 6 die 8 steht). Also gibt es nur bestimmte Kombinationen, die im folgenden aufgelistet sind, dahinter die Zahl ist die vordere Zahl geteilt durch 8. 412 51,5 418 52,25 432 54 438 54,75 472 59 478 59,75 492 61,5 498 62,25 814 101,75 816 102 834 104,25 836 104,5 874 109,25 876 109,5 894 111,75 896 112 Man sieht, dass nur bestimmte Kombinationen durch 8 teilbar sind, nämlich: 432 472 816 896 Ist die 4 an PLatz 6, muss an Platz 8 eine 2 stehen Ist die 8 an Platz 6, muss an Platz 8 eine 6 stehen Wir können also folgendes sagen: Entweder sieht die Zahl so aus: _ 8 _ 6 5 4 _ 2 _ 0 oder so: _ 4 _ 2 5 8 _ 6 _ 0 Soweit alles klar? |
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und weiter geht's :o) ich betrachte nur den zweiten Fall: _ 4 _ 2 5 8 _ 6 _ 0 - wegen der Teilbarkeit der ersten 8 Ziffern durch 8 muss die 7. Ziffer entweder eine 1 oder ein 9 sein (s.o.) - die ersten 3 Ziffern, die zweiten 3 Ziffern und die dritten 3 Ziffern müssen jeweils in ihrer Quersumme durch 3 teilbar sein, betrachten wir also nur die dritten 3 Ziffern (Platz 7,8,9), so muss die Summe durch 3 teilbar sein. Die 7. Ziffer ist 1 oder 9 Die 8. Ziffer ist 6. Für den Fall, dass die 7. Ziffer 1 wäre, kann keine 9. Ziffer gefunden werden, so dass die Quersumme durch 3 teilbar ist: 1+6+3 = 10 1+6+7 = 14 1+6+9 = 16 Also kann die 1 ausgeschlossen werden. Übrig bleibt als 7.Ziffer die 9 in diesem Fall muss die 9. Ziffer die 3 sein. Das hieße: _ 4 _ 2 5 8 9 6 3 0 Für die 1. und 3. Ziffer blieben noch 1 und 7 übrig. Es gäbe also 2 Möglichkeiten: 1 4 7 2 5 8 9 6 3 0 7 4 1 2 5 8 9 6 3 0 Was noch zu testen ist, ist die Zahl aus den ersten 7 Ziffern, die durch 7 teilbar sein muss: 1 4 7 2 5 8 9 nicht durch 7 teilbar 7 4 1 2 5 8 9 ebenfalls nicht durch 7 teilbar Damit habe ich gezeigt, dass der zweite Fall: _ 4 _ 2 5 8 _ 6 _ 0 komplett ausgeschlossen werden kann. Die Zahl muss also so aussehen: _ 8 _ 6 5 4 _ 2 _ 0 |
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Und Endspurt ;-) Die Zahl muss also so aussehen: _ 8 _ 6 5 4 _ 2 _ 0 - wegen der Teilbarkeit der ersten 8 Ziffern durch 8 muss die 7. Ziffer entweder eine 3 oder eine 7 sein (s.o.) - wegen der Quersumme aus den Ziffern 7,8,9, die durch 3 teilbar sein muss, kommen nur noch folgende Kombinationen in Frage: Ziffern 7,8,9: 321 327 723 729 Auf den ersten und dritten Platz kommen dann noch die jeweils übrigen Ziffern. Das ergibt folgende KOmbinationsmöglichkeiten: 7 8 9 6 5 4 3 2 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 8 9 6 5 4 3 2 7 0 9 8 1 6 5 4 3 2 7 0 1 8 9 6 5 4 7 2 3 0 9 8 1 6 5 4 7 2 3 0 1 8 3 6 5 4 7 2 9 0 3 8 1 6 5 4 7 2 9 0 Nun nur noch überprüfen, welche Zahl aus den ersten 7 Ziffern auch wirklich durch 7 teilbar ist: 7 8 9 6 5 4 3 2 1 0 nein 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 nein 1 8 9 6 5 4 3 2 7 0 nein 9 8 1 6 5 4 3 2 7 0 nein 1 8 9 6 5 4 7 2 3 0 nein 9 8 1 6 5 4 7 2 3 0 nein 1 8 3 6 5 4 7 2 9 0 nein 3 8 1 6 5 4 7 2 9 0 ja! Damit wäre die einzig mögliche Zahl gefunden: zur kontrolle kann man nochmal alle Zahlen aus den verschiedenen Ziffern überprüfen: 38: 2 = 19 381: 3 = 127 3816: 4 = 954 38165: 5 = 7633 381654: 6 = 63609 3816547: 7 = 545221 38165472: 8 = 4770684 381654729: 9 = 42406081 3816547290: 10 = 381654729 Alles geht ohne Rest auf, die gesuchte Bedingung ist erfüllt! Lösung: 3 8 1 6 5 4 7 2 9 0 Schöne Aufgabe, hat Spaß gemacht :o) Hoffe, Du kannst alles nachvollziehen, evtl. kann man die Teilbarkeit durch 7 mit der alternierenden 3er-Quersumme noch eleganter anwenden, um am Schluss nicht ausprobieren zu müssen...aber es hat ja zum Glück funktioniert Einen schönen Abend! Und bei Fragen natürlich melden! |
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Suuuper! Danke! das mit dem probieren am ende ist kein problem da man (oder besser gesagt du ;) ) nur logische schlussfolgerungen gezogen hat. andere aus meiner klasse waren die ganze stunde nur am probieren. da wird mein mathe lehrer staunen... mal sehn ob ich bis freitag jeden schritt nachvollziehen kann (hab morgen leider ita-sa heute keine zeit mehr - werd das morgen genau durchlesen) danke nochma - super arbeit |
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Hallo! Alle Jahre wieder, kommt die gleiche Frage: www.onlinemathe.de/forum/alle-natuerliche-Zahlen-mit-best-Eigenschaften www.onlinemathe.de/forum/Kombinatorik-Zahlenbestimmung Und nie schaut jemand nach, ob das Fahrrad nicht bereits erfunden wurde... |
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*lach* ja, ich als "Antwortgeber" bin natürlich auch nicht auf die Idee gekommen, hier zuerst mal zu suchen... |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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