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zeige oder widerlege..
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Skalarprodukte
Tags: Eigenwert, Skalarprodukt
 
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Hallo :-) Zeige oder widerlege: Eine Matrix ist unitär genau dann, wenn sie normal ist und alle Eigenewerte Betrag 1 haben. kann wer weiterhelfen? :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Welche der beiden Richtungen bereitet dir Kopfzerbrechen? |
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naja eigentlich folgt ja aus unitär normal... warum müssen dann noch alle Eigenwerte Betrag 1 haben? Braucht man da nicht ein Gegenbeispiel? |
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Wenn es ein Gegenbeispiel gäbe, könnte man das prima verwenden. Was sagt dir die Definition von "unitär" unmittelbar? |
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UNITÄR: Eine lineare . heißt unitär bezüglich und wenn . die Abbildung erhält das Skalarprodukt Wenn so heißt A unitär, wenn unitär ist bzgl. dem Standard-Skalarprodukt. unitär isometrie unitär injektiv unitär und ist Isomorphismus A unitär A*A=I_n unitär normal Es gibt schon ein Gegenbsp oder? |
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"Isometrie" ist schon mal ein klarer Hinweis. Wenn Eigenvektor der Länge ist, wie lang ist dann ? |
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Ísometrie bedeutet ja dass die abstände erhalten bleiben.. das heißt wenn ein Eigenvektor der Länge ist dann ist das heißt daraus folgt dass stimmt das so? :-) |
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Genau, das wäre dann schon einmal die eine Richtung - aber in der Aufgabe steht ja "genau dann, wenn". Ist eine normale Matrix/Endomorphismus mit lauter Betrag-1-Eigenvektoren unitär? |
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ok super!! (aber ich habe die tatsache dass die matrix normal ist nicht verwendet oder? ) mhm..ja ich denke schon, aber ich weiß leider nicht wie man das zeigen könnte ?! wie kann man die betrag-1- eigenwerte einbauen? |
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Ist bekannt, dass normale Endomorphismen eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren haben? |
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ja stimmt das haben wir in der Vorlesung gemacht, an das hab ich garnicht gedacht. Das heißt für linear, normal gilt dass eine ON- Basis aus EV und wenn A normal ist eine unitäre Matrix sodass U*AU= diag wobei so ist dass die Spaltenvektoren eine ON-Basis aus EV bilden.. und da die Beträge von den EW ja 1 sind nach Voraussetzung hätte ich ja rechts eigentlich schon die Einheitsmatrix stehen ..aber links noch nicht . (ich will ja zeigen dass A mal A adjungiert komm ich irgendwie so weiter? mir kommt vor dass ich auf dem richtigen weg bin aber, dass ein entscheidendes argument vl noch fehlt oder? |
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Rechts nicht die Einheitsmatrix! Es gibt viele komplexe Zahlen vom Betrag Drücke doch einfach das Skalarprodukt aus, wobei du und mit der ON-Basis aus Eigenvektoren schreibst. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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