Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » zeigen, dass a*(bxc) gilt:

zeigen, dass a*(bxc) gilt:

Schüler

Tags: Matrix

Specter aktiv_icon

12:08 Uhr, 29.04.2016

Also, ich babe die tolle Aufgabe dass ich die Vekoren irgendwie bestimmen muss. Und zwar ist dieses Spatprodukt gegeben: a(bxc)

"Zeige dass a(bxc)

= 0

ist wenn sich a als

a = a 1 b + a 2 c

schreiben lässt."

ich verstehe leider diese Aufgabe nicht, wie soll ich da denn rechnen?
Wie es scheint, sind diese vektoren doch im 2 dimensonalen Raum und es gibt 3 Vektoren. Nun ist aber

b x c

offensichtlich 3 dimensonal, da für beide ja das Kreuzprodukt definiert ist. Also schreibt man ja doch

a 1 \cdot (b 2 c 3 - b 3 c 2) + a 2 (b 3 c 1 - b 1 c 3) + b 1 c 2 - b 2 c 1

oder nicht?
Also muss

a = 0

sein und

b 1 c 2 - b 2 c 1

ebenfalls 0 ergeben.
Oder als Determinante hätten wir ja:

det (\begin{matrix} a 1 & a 2 & 0 \\ b 1 & b 2 & b 3 \\ c 1 & c 2 & c 3 \end{matrix}) = 0

Natürlich kann man zuerst das Kreuzprodukt berechnen und dann skalar multiplizieren..

kann mir das jemand mal erklären wie diese AUfgabe gemeint ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Edddi aktiv_icon

13:33 Uhr, 29.04.2016

Es ist doch:

\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = det (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}) = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} |

Auf Grund der lin. Abh. von

\vec{a}

\vec{b}

und

\vec{c}

sollte die Determinate 0 ergeben.

Denn es soll ja:

\vec{a} = r_{1} \cdot \vec{b} + r_{2} \cdot \vec{c} = r_{1} (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) + r_{2} (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} r_{1} b_{1} + r_{2} c_{1} \\ r_{1} b_{2} + r_{2} c_{2} \\ r_{1} b_{3} + r_{2} c_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

Ich habe hier mal andere Parameter benutzt, damit

r_{1}

nicht mit

a_{1}

aus der Determinante verwechselt wird.

Man hat dann also:

| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} r_{1} b_{1} + r_{2} c_{1} & b_{1} & c_{1} \\ r_{1} b_{2} + r_{2} c_{2} & b_{2} & c_{2} \\ r_{1} b_{3} + r_{2} c_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} |

= (r_{1} b_{1} + r_{2} c_{1}) \cdot | \begin{matrix} b_{2} & c_{2} \\ b_{3} & c_{3} \end{matrix} |

- b_{1} \cdot | \begin{matrix} r_{1} b_{2} + r_{2} c_{2} & c_{2} \\ r_{1} b_{3} + r_{2} c_{3} & c_{3} \end{matrix} |

+ c_{1} \cdot | \begin{matrix} r_{1} b_{2} + r_{2} c_{2} & b_{2} \\ r_{1} b_{3} + r_{2} c_{3} & b_{3} \end{matrix} |

= (r_{1} b_{1} + r_{2} c_{1}) \cdot (b_{2} c_{3} - c_{2} b_{3})

- b_{1} \cdot ((r_{1} b_{2} + r_{2} c_{2}) c_{3} - (r_{1} b_{3} + r_{2} c_{3}) c_{2})

+ c_{1} \cdot ((r_{1} b_{2} + r_{2} c_{2}) b_{3} - (r_{1} b_{3} + r_{2} c_{3}) b_{2})

= r_{1} b_{1} b_{2} c_{3} - r_{1} b_{1} c_{2} b_{3} + r_{2} c_{1} b_{2} c_{3} - r_{2} c_{1} c_{2} b_{3}

- r_{1} b_{1} b_{2} c_{3} - r_{2} b_{1} c_{2} c_{3} + r_{1} b_{1} b_{3} c_{2} + r_{2} b_{1} c_{3} c_{2}

+ r_{1} b_{2} b_{3} c_{1} + r_{2} c_{2} b_{3} c_{1} - r_{1} b_{2} b_{3} c_{1} - r_{2} b_{2} c_{1} c_{3}

= 0

. .

. Tadaaaa

;-)

Specter aktiv_icon

13:54 Uhr, 29.04.2016

kann es sein, dass Sie sich bei der Determinantenaufstellung vertan haben? Die Vektorkomponenten müssten ja doch von links nach rechts angeordnet sein, also

a 1, a 2, a 3

So ist es jedenfalls wie ich im Papulla vorfinde

Edddi aktiv_icon

21:46 Uhr, 29.04.2016

Es ist

det A = {det A}^{T}

Heißt: Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante.

:-)

Specter aktiv_icon

13:52 Uhr, 04.05.2016

Whoaah, das ist aber viel geschreibe. Aber ich glaub ich habs gecheckt, danke :-)

1305317

1304282

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?