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zeigen sie das sin(1/x) differenzierbar ist

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Differentiation

Tags: Differentiation

ole1988 aktiv_icon

22:00 Uhr, 12.01.2012

hallo ich will zeigen das

sin (\frac{1}{x})

diffbar ist.
habe schon eine menge ausprobiert, komme aber nicht auf die lösung: -(cos(1/x))/x²
denke müsste irgendwie mit den additionstheoreme gehen..
Hoffe ihr könnt mir helfen Danke

dapso aktiv_icon

22:13 Uhr, 12.01.2012

Versuch es doch einmal mit der Kettenregel, mit

\sin (x)

als äußerer und

\frac{1}{x}

als innere Funktion. Damit bekommt man die Ableitung für

x \neq 0

. Wie ist die Funtkion in

0

definiert? Dazu müsste es noch eine Angabe geben.

ole1988 aktiv_icon

23:20 Uhr, 12.01.2012

Danke erstmal
mit der Produktregel ist das alles kein Problem daher habe ich ja die Lösung:-D)
differenzierbarkeit zeig man mit

lim_{n \to 0} ((\frac{1}{h}) \cdot (f (x + h) - f (x)))

ole1988 aktiv_icon

17:21 Uhr, 13.01.2012

hab vielleicht noch ein tipp zur Aufgabe,
Also die komplette Aufgabe sieht so aus:

F [0,2] \to ℝ, x \mapsto x^{\frac{3}{2}} \cdot sin (\frac{1}{x})

für

x \neq 0

und 0 für

x = 0

.
Wollte erst die Funktion teilen und zeigen, dass beide Differenzierbar sind, darauf folgt dann, dass die gesamte Funktion diffbar ist, aber bekomme das für

sin (\frac{1}{x})

nicht hin.
man müsste Differenzierbarkeit auch zeigen können, indem man

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

aber wüsste jetzt nicht wie man das angeht.

hagman aktiv_icon

17:48 Uhr, 13.01.2012

Die Aufgabenstellung ist unklar: Soll nur Diffbarkeit gezeigt werden oder auch die Ableitung angegeben werden?
Die reine Diffbarkeit ist in

(0,2]

klar, da diffbare Funktionen verkettet und multipliziert werden. Um die tatsächliche Ableitung anzugeben, muss man halt Produkt- und Kettenregel explizit anwenden.
An der Stelle 0 ergibt sich das Ergebnis unmittelbar aus dem Differeenzenquotienten.
Es ist (für

x \neq 0)

\frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot sin (\frac{1}{x})}{x} = \sqrt{x} \cdot sin (\frac{1}{x})

Für

x \to 0

ist

sin (\frac{1}{x})

beschränkt und

\sqrt{x} \to 0,

also folgt

f' (0) = 0

ole1988 aktiv_icon

18:30 Uhr, 14.01.2012

muss nur zeigen das die Funktion differenzierbar ist, müsste eigentlich mit deinem schritt gezeigt sein oder?
Desweiteren muss ich zeigen, dass die Funktion nicht Riemann - integrierbar sind.
Meiner Meinung nach müsste ich das mit der oberen und unteren Treppenfunktion lösen.
es müsste dann was unterschiedliches rauskommen. Daraus würde folgen das

F

nicht Riemann - integrierbar ist

hagman aktiv_icon

23:01 Uhr, 14.01.2012

Aber selbstverständlich existiert das Riemannintegral

\int_{0}^{2} F (x)

d x

.Schließlich ist

F

stetig!
(Es geht doch nach wie vor um

F (x) = x^{\frac{3}{2}} \cdot sin (\frac{1}{x})

für

x > 0,

oder?)

ole1988 aktiv_icon

23:20 Uhr, 14.01.2012

naja fast

F : [0,2]

und ich weiß das es nicht integrierbar ist. Meiner Meinung nach müsste bei der treppenfunktion ein unterschied rausbekommen. und damit habe ich gezeigt das

F

nicht integrierbar ist. oder?

sm1kb aktiv_icon

12:22 Uhr, 15.01.2012

Die Ableitung ist +1/x^2·cos(1/x)
Gruß von sm1kb

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