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zeilenraum bestimmen, spaltenraum bestimmen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: spaltenraum, zeilenraum

8mileproof aktiv_icon

19:29 Uhr, 10.09.2011

hallo, hab folgende matrix :

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 2 & 4 & - 8 \end{matrix}) \in ℝ^{4 x 4}

kann mir jmd. sagen/schreiben, wie ich hier den spaltenraum bestimmen soll? vielen dank schon ma im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Aurel

02:30 Uhr, 11.09.2011

Spaltenraum:

Zunächst prüft man ob die Spaltenvektoren der Matrix A linear unabhängig sind. Das kann man mit verschiedenen Methoden prüfen,

z . B

. indem man prüft, ob

det A = 0 .

Wenn

det A = 0,

dann sind die Spaltenvektoren der Matrix A linear abhängig.
Wenn

det A \neq 0,

dann sind die Spaltenvektoren der Matrix A linear unabhängig.

Laut Determinantenrechner ist angeblich

det A \neq 0,

also wird der Spaltenraum durch alle 4
Spaltenvektoren aufgespannt:

Spaltenraum:

< (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}), (\begin{matrix} 8 \\ 1 \\ - 1 \\ - 8 \end{matrix}) >

8mileproof aktiv_icon

05:48 Uhr, 11.09.2011

ach so. okay. danke. ich hatte irgendwo gelesen, dass man den rang bestimmen muss und je nach dem wie groß der rang ist, so groß ist auch der spaltenraum. stimmt das?

edit: was wäre

z . b

. passiert wenn die determinante gleich null gewesen wäre?

Aurel

02:52 Uhr, 12.09.2011

Der Zeilen-, Spaltenraum bestehen aus der Menge aller Linearkombinationen der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. Um den Zeilen-, Spaltenraum anzugeben, genügt es sogar, einfach die entsprechenden Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrix hinzuschreiben, ohne lineare Unabhängigkeit bzw. Rang der Matrix zu bestimmen, denn die Menge aller Linearkombinationen der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren bleibt gleich - unabhängig davon, ob es sich um linear abhängige Vektoren oder um - aus jenen linear abhängigen Vektoren - extrahierte linear unabhängige Vektoren handelt.

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (=Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren) und somit gleich der Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraums

Wenn

det A \neq 0

sind alle Zeilen bzw. Spalten der Matrix linear unabhängig und die Matrix hat vollen Rang,

d . h

. der Rang ist gleich der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der Matrix.

"edit: was wäre

z . b

. passiert wenn die determinante gleich null gewesen wäre?"

dann wären die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren linear abhängig und somit der Rang der Matrix und die Dimension des Zeilen-, Spaltenraums kleiner als die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten.

Für die Angabe des Zeilen-, Spaltenraums gilt aber, wie bereits oben beschrieben:
Um den Zeilen-, Spaltenraum anzugeben, genügt es sogar, einfach die entsprechenden Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrix hinzuschreiben, ohne lineare Unabhängigkeit bzw. Rang der Matrix zu bestimmen, denn die Menge aller Linearkombinationen der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren bleibt gleich - unabhängig davon, ob es sich um linear abhängige Vektoren oder um - aus jenen linear abhängigen Vektoren - extrahierte linear unabhängige Vektoren handelt.

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