Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » zerfallende kurze exakte Sequenzen

zerfallende kurze exakte Sequenzen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

lore1234ley aktiv_icon

09:01 Uhr, 25.12.2015

Hallo,

warum ist die kurze exakte Sequenz

0 \to ℤ / 2 ℤ \to ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ \to ℤ / 2 ℤ \to 0

zerfallend, und die kurze exakte Sequenz

0 \to ℤ / 2 ℤ \to ℤ / 4 ℤ \to ℤ / 2 ℤ \to 0

nicht?

Ein Schnitt einer kurzen exakten Sequenz

1 \to N \to^{ι} \to^{π} H \to 1

ist ja ein Homomorphismus

σ : H \to G

mit

π \circ σ = i d_{H}

###
Für die erste Sequenz wähle ich einfach

π : ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ \to ℤ / 2 ℤ

(\bar{0}, \bar{0}) \mapsto \bar{0}

(\bar{1}, \bar{0}) \mapsto \bar{0}

(\bar{0}, \bar{1}) \mapsto \bar{1}

(\bar{1}, \bar{1}) \mapsto \bar{1}

und

σ : ℤ / 2 ℤ \to ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

\bar{0} \mapsto (\bar{0}, \bar{0})

\bar{1} \mapsto (\bar{0}, \bar{1})

womit ich dann einen Schnitt gefunden habe.

Für die zweite Sequenz wähle ich dann

π : ℤ / 4 ℤ \to ℤ / 2 ℤ

\bar{0} \mapsto \bar{0}

\bar{1} \mapsto \bar{1}

\bar{2} \mapsto \bar{0}

\bar{3} \mapsto \bar{1}

und

σ : ℤ / 2 ℤ \to ℤ / 4 ℤ

\bar{0} \mapsto \bar{0}

\bar{1} \mapsto \bar{1}

Dann habe ich mit

σ

jeweils einen Schnitt gefunden, also wären beide kurzen exakten Sequenzen zerfallend. Die zweite darf es aber eigentlich nicht sein. Wo liegt also mein Fehler?

Vielen Dank im Vorraus und ein frohes Weihnachtsfest,
loreley

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

lore1234ley aktiv_icon

05:45 Uhr, 27.12.2015

keiner eine Idee?

lore1234ley aktiv_icon

05:38 Uhr, 29.12.2015

. .

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1278734

1278281

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?