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zerlegen von funktionen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Funktion, Zerlegen

Eduart aktiv_icon

15:59 Uhr, 24.07.2008

hallo

also ich sollte jetz diese unecht gebrochenrationalen funktionen in die summe einer ganzrationalen und einer echt gebrochenrationalen funktion zerlegen. und ich habe keine ahnung was eine unecht gebrochenrationale funktion ausmacht... und auch kene ahnung wie man so etwas bewerkstelligen soll=)....
Also die funktionen wären:

f (x) : x^{3} \frac{\cdot}{x} - 1

f (x) : x^{4} \frac{\cdot}{3} x^{2} + 5

also wäre nett wenn ihr mir ein bisschen erklären könntet was man da so machen muss weil ich habe echt keine ahnung

Danke

ps: da wo der punkt ist wäre der bruchstrich ..

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

MBler07 aktiv_icon

16:30 Uhr, 24.07.2008

Hi

Eine unecht gebrochen rationale Funktion ist etwas ähnliches, wie ein unechetr Bruch. Der Zählergrad ist größer als der des Nenners. Du kannst den Bruch also

(z . B

. mit Polynomdivision) kürzen. Das Ergebnis ist der rationale Teil, der Rest die echt gebrochen rationale Funktion.

Zur besseren Lesbarkeit:

\frac{x^{3}}{x - 1}

="x^3/(x-1)

\frac{x^{4}}{3 \cdot x^{2} + 5}

="x^4/(3*x^2+5)

Grüße

Eduart aktiv_icon

11:50 Uhr, 25.07.2008

aha ok danke. und wie würde jetzt die erste funktion die ich angegeben habe aussehen wenn ich sie in die summe einer ganzrationalen und einer echt gebrochenrationalen funktion zerlegen würde??
bräuchte ergebnis zur kontrolle damit ich die anderen aufaben auch richtig mache

danke

MBler07 aktiv_icon

23:34 Uhr, 26.07.2008

Wie schon gesagt: So lange Polynomdivision, bis der Nennergrad gößer als der Zählergrad ist.

1.

(x^{3}) : (x - 1) = x^{2} + \frac{x^{2}}{x - 1}

(x^{2}) : (x - 1) = x + \frac{x}{x - 1}

(x) : (x - 1) = 1 + \frac{1}{x - 1}

\Rightarrow x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}

Eine Probe kannst du einfach machen, indem du alles wieder in einem Bruch schreibst

(\to

Hauptnenner!)

Übrigens ist es meistens einfacher Lösungen zu kontrollieren als selbst zu berechnen. Poste doch einfach deine Lösung, wenn du eh nur eine Kontrolle brauchst.

Eduart aktiv_icon

16:46 Uhr, 27.07.2008

aha also ist dann das ergebnis bei punkt 3 die summe einer ganzrationalen und einer echt gebrochenrationalen funktion? oder nur eine echt gebrochenrationale funktion? müssten das jetzt nicht 2 ergebnise sein wenn ich diese funkion einmal in die summe einer ganzrationalen funkion zerlegen muss und einmal in eine echt gebrochenrationale funkion?

mfg

MBler07 aktiv_icon

20:38 Uhr, 27.07.2008

Nochmal ausführlicher:
Eine gebrochentaionale Funktion heißt echt gebrochen, wenn der Grad des Zählerpolynoms gößer als der des Nennerpolynoms ist. Ist er kleiner oder gleich ist sie unecht gebrochen.
Bei deiner Funktion ist der Grad des Zählerpolynoms

3,

der des Nenners 1. In meinem ersten Schritt habe ich schon die Summe einer ganzrationalen Funktion und einer gebrochenrationalen. Da der gbr. Teil immer noch unecht ist, zerlege ich diesen im zweiten Schritt nochmal. Genauso wie im Dritten. Das Endergebnis steht nach dem Doppelpfeil. Da habe ich die Zerlegungen nochmal alle zusammengefasst und jeweils für den gbr. Teil die Zerlegung von diesem im folgenden Schritt eingesetzt.

Du kannst im Normalfall aus einer unecht gbr. Fkt keine echt gbr. machen. Du musst sie als Summe schreiben, genauso wie bei Brüchen:

\frac{4}{3}

ist unecht gebrochen. Zerlegung:

1 + \frac{1}{3}

Bei dir ist der ganzrationale Teil

x^{2} + x + 1

und der echt gbr Teil

\frac{1}{x - 1}

Eduart aktiv_icon

21:26 Uhr, 27.07.2008

aha ok jetzt müsste es drinnen sein im kopf=) danke dir ich versuchs mal morgen mit der 2. funktion die ich angegeben habe und stell dann das ergebnis rein....
dann müsstest du mir nur noch kontrolliern ob das stimmpt

danke danke

Eduart aktiv_icon

16:32 Uhr, 28.07.2008

gut dann hab ich jetz diese funktion:

(x^{2}) / (x + 4)

x^{2} / x + 4 = x - 4 x x + 4

x / x + 4 = 1 - 4 x + 4

Ergebnis:

x + 1 + x + 4

stimmpt das?

und dann noch eine andere funktion:

(x^{4}) / (3 x^{2} + 5)

wie funktioniert das hier ??

Eduart aktiv_icon

16:39 Uhr, 28.07.2008

gut dann hab ich jetz diese funktion:

(x^{2}) / (x + 4)

x^{2} / x + 4 = x - 4 x x + 4

x / x + 4 = 1 - 4 x + 4

Ergebnis:

x + 1 + x + 4

stimmpt das?

und dann noch eine andere funktion:

(x^{4}) / (3 x^{2} + 5)

x^{4} / 3 x^{2} + 5 = 1 / 3 x^{2} - 1 \cdot 2 / 3 x^{2}

2.1 / 3 x^{2} / 3 x^{2} + 5 = 1 / 9 - 5 / 9

ergebnis:

1 / 3 x^{2} + 1 / 9 + 3 x^{2} + 5

stimmpt das auch?

MBler07 aktiv_icon

17:52 Uhr, 28.07.2008

Die erste stimmt (ich nehme mal an, dass falsche Ergebniss beruht auf einem Tippehler, da die Schritte davor richtig sind?!).
Die zweite nicht. Wo ist denn die 5 im Nenner? Und wie kommst du überhaupt auf den Rest im ersten Schritt?

Eduart aktiv_icon

21:49 Uhr, 28.07.2008

also dann ist das ergebnis bei der 1.

x + 1 - 4 x + 4

??

hmmm und wie geht dann die

2 .

? hab keine ahnung ..kannste mir die bitte machen ich wüsste jetzt nicht was ich da falsch gemacht habe

MBler07 aktiv_icon

22:07 Uhr, 28.07.2008

Ich komm im ersten Schritt auf:

(x^{4}) : (3 \cdot x^{2} + 5) = \frac{1}{3} \cdot x^{2} - \frac{\frac{5}{3} \cdot x^{2}}{3 \cdot x^{2} + 5}

Rechne doch erstmal damit weiter.

Zu 1:

1) = x - \frac{4 x}{x + 4}

2) \frac{4 x}{x + 4} = 4 - \frac{16}{x + 4}

Damit lautet die gesuchte Funtion:

x - (\frac{4 x}{x + 4})

Den zweiten Teil ersetze ich dann durch den zweiten Schritt:

x - (4 - \frac{16}{x + 4}) = x - 4 + \frac{16}{x + 4}

Somit habe ich mich vorhin doch etwas verrechnet.

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