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zerlegung der Eins

Universität / Fachhochschule

Tags: Träger, zerlegung Eins

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23:57 Uhr, 15.01.2011

hallo!

kann mir jemand erklären, wie man sich den träger einer funktion vorstellen kann und was es mit der zerlegung der Eins auf sich hat?

der Träger einer Funktion $φ : X \to [0,1]$ ist definiert als supp $(φ) = \bar{{x \in X | φ (x) \neq 0}}$
Dann heißt $Φ \subseteq C (X, [0,1])$ Zerlegung der Eins, wenn:
(i) $\forall x \in X \exists U_{x}$ (offene Umgebung von $x),$ so dass: ${φ \in Φ$ |supp $(φ) \cap U_{x} \neq \emptyset} < \infty$
(ii) $\forall x \in X$ gilt $\sum_{φ \in Φ} φ (x) = 1$

Wofür benötigt man das?
Kann mir jemand ein beispiel zeigen, außer die triviale Zerlegung:
$Φ = {x \mapsto 1}$ ?

liebe grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

16:14 Uhr, 16.01.2011

Hi,

ich würde das folgendermaßen interpretieren:
Die 1 als Funktion gesehen symbolisiert grundsätzlich die Identität. Ich denke mir z.B. eine Funktion von bestimmten Messwerten, also z.B. die Strahlung die von einem radioaktiv zerfallendem Material ausgeht. Nun ändert sich dieser Strahlungsgehalt mit der Zeit, denn durch die Zersetzung verringert sich das strahlende Material. Nennen wir die Funktion $φ (t)$ .

Es gilt immer:
$φ (t) = 1 \cdot φ (t)$ (1)

Jetzt denken wir uns, dass das strahlende Material nicht aus einem homogenen strahlenden Element, sondern aus, sagen wir, 3 verschiedenen strahlenden Bestandteilen besteht. Alle diese 3 Teile tragen je nach der vorhandenen Masse und Strahlungspotential zur Gesamtstrahlung $ψ (t)$ bei. So kann man eine Zerlegung der Eins finden, wie du sie definiert hast und ich kann (1) umschreiben in:
$1 \cdot φ (t) = (σ_{1} (t) + σ_{2} (t) + σ_{3} (t)) \cdot φ (t) = σ_{1} (t) \cdot φ (t) + σ_{2} (t) \cdot φ (t) + σ_{3} (t) \cdot φ (t)$ (2)

Nun substituiert man (2) noch mit $σ_{i} (t) \cdot φ (t) = φ_{i} (t)$ und erhält insgesamt:
$φ (t) = φ_{1} (t) + φ_{2} (t) + φ_{3} (t)$

So kann man also die Gesamtstrahlung mathematisch aufspalten in Funktionen der einzelnen strahlenden Bestandteile und diese einzeln weiter untersuchen.

Dies ist natürlich nur ein Beispiel für die Anwendung, und derer wird es viele geben. Ich nehme mal an, dass gerade der theoretische Nutzen der Zerlegung der Eins extrem hoch ist, und ich vermute am höchsten in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Gruß
Sina

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