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zuordnung von funktionen und graphen

Schüler Gymnasium,

Tags: wie gehe ich am besten vor wenn ich funktionen graphen zuordnen soll?

sarah3434 aktiv_icon

16:34 Uhr, 08.06.2013

Hallo Leute,
ich habe eine frage : wie kann ich funktionen graphen zuordnen? also beispielsweise

(- 2) : (x + 1)

? (ihr könnt die funktion bei online mathe kurvendiskussion eingeben, dann seht ihr wie sie aussieht).Wenn ich die funktion selbst zeichnen will weiß ich nämlich nie wie ich das in das koordinatensystem eintragen soll...
Und woher weiß ich ob der graph im

1 ., 2 ., 3 ., 4

. Quadranten ist?

Danke für jede Antwort! (wenn ihr es mir erklären wollt bitte ganz einfach und verständlich erklären also vielleicht direkt an einen beispiel)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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16:41 Uhr, 08.06.2013

Hast du noch nie eine Wertetabelle erstellt ?
Nimm

z . B

. alle ganzen Zahlen von

- 5

bis

+ 5,

setze sie für

x

ein und berechne die dazugehörigen y-Werte.

Beispiel:

y (- 5) = \frac{- 2}{- 5 + 1} = \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2}

sarah3434 aktiv_icon

17:10 Uhr, 08.06.2013

Danke für die antwort... ich habe das jetzt zum beispiel bei der funktion von vorhim ausprobiert.Das hat auch gut funktioniert=)
Geht das eigentlich auch schneller weil wir haben in der schule verschiedene funktionen den graphen zugeordnet ohne für

x

werte einzusetzen; wenn nicht ist es auch nicht schlimm es hätte mich nur interessiert=)

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17:35 Uhr, 08.06.2013

Wenn Graphen vorgegeben sind, liegt ein anderer Sachverhalt vor.
Man kann dann anhand des Verlaufs des Graphen und einiger markanter Punkte Aussagen über den Funktionstyp machen und so eine Zuordnung vornehmen.Es gibt typische Verläufe für bestimmte Funktionsarten.

anonymous

17:47 Uhr, 08.06.2013

f (x) = \frac{- 2}{x + 1}

Das ist eine gebrochen-rationale Funktion. Da würde ich behaupten, sind folgende Dinge interessant:
Nullstellen, Definitionslücken bzw. Polstellen, Verhalten im Unendlichen

Eine gebrochen-rationale Funktion kann logischerweise nur den Funktionswert 0 annehmen, wenn der Zähler den Wert 0 annimmt. Der Zähler ist allerdings konstant

- 2

. Daher besitzt

f

keine Nullstelle.

Das bedeutet: Der Graph von

f

schneidet bzw. berührt die x-Achse an keiner Stelle.

Polstellen können an den Stellen vorliegen, an denen der Nenner gleich 0 wird.
Wird gleichzeitig der Zähler gleich

0,

so liegt evtl. eine hebbare Definitionslücke vor. (Das ist hier aber nicht der Fall.)
Der Nenner wird für

x = - 1

gleich 0. Man sieht sogar, dass die Nennernullstelle die Vielfachheit 1 hat, und dort also auch ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Da gleichzeitig der Zähler bei

x = - 1

nicht 0 wird, ist

x = - 1

eine Polstelle erster Ordnung.

Das bedeutet, dass sich der Graph von

f

bei

x = - 1

bei der einen Seite sich

- \infty

und auf der anderen Seite sich

+ \infty

annähert.
Da

- 2

negativ und

(x + 1)

negativ für

x < - 1,

ist

f

positiv für

x < - 1,

das heißt das die Annäherung an

+ \infty

an der linken Seite von

x = - 1

stattfinden muss. Die Annäherung an

- \infty

muss dementsprechend bei

x = - 1

von rechts stattfinden.

Für

x \to \pm \infty

strebt der Nenner gegen

\pm \infty,

daher strebt die Funktion für

x \to \pm \infty

gegen 0.

Zusammenfassend könnte man also direkt, innerhalb von Sekunden, folgern:
Der Graph befindet sich zunächst knapp über der

0,

da die Funktion dann ohne Schneiden oder Berühren der x-Achse bei

x = - 1

gegen

+ \infty

anwächst. An dieser Polstelle findet dann ein Sprung statt so dass sie wieder von

- \infty

her sich für große x-Werte wieder der y-Achse nähert (diesmal von unten, da der Graph aus dem negativen Bereich kommt und keine weiterer Vorzeichenwechsel bei Null- oder Pol- oder Sprungstellen vorkommt).

sarah3434 aktiv_icon

19:02 Uhr, 08.06.2013

vielen dank für deine ausführliche antwort...!
wie wäre es dann bei der funktion

f (x) = {(x + 1)}^{2}

?
wegen der

+ 1

ist der graph um 1 nach links auf der

x

achse verschoben oder ?
Aber woher weiß man dass der graph nach oben geöffnet und wie weit er geöffnet ist?

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19:15 Uhr, 08.06.2013

Wäre er nach unten geöffnet, stünde ein MINUS vor der Klammer.Das Ausmaß der Öffnung hängt vom einem möglichen Faktor vor der Klammer.

anonymous

19:22 Uhr, 08.06.2013

f (x) = {(x + 1)}^{2}

. .

. ist eine quadratische Funktion.

Allgemein kann man die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion immer in die folgenden Formen überführen:

f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

f (x) = a \cdot {(x - x_{S})}^{2} + y_{S}

...

dabei ist

(x_{S} | y_{S})

der Scheitelpunkt, weshalb man die zweite Form auch Scheitelpunktform nennt.

Dabei haben wir in der Schule

a

Öffnungsfaktor genannt.
Wenn

a > 0

ist die Parabel nach oben geöffnet.
Wenn

a < 0

ist die Parabel nach unten geöffnet.
Der Fall

a = 0

tritt nicht auf, da man dann keine quadratische Funktion mehr hat.
Je größer der Betrag von

a

ist, desto stärker ist die Parabel entlang der y-Achse gestreckt. Bei

a = 1

hat man das gleiche "Öffnungsverhalten" wie bei einer Normalparabel.

In Diesem Fall liegt

f (x)

im Prinzip schon in Scheitelpunktform vor:

f (x) = {(x + 1)}^{2}

f (x) = 1 \cdot {(x - (- 1))}^{2} + 0

a = 1 > 0

ist die Parabel nach oben geöffnet. Der Scheitelpunkt liegt bei

(- 1 | 0)

.

Weitere mögliche Überlegung:
Im Prinzip erhält man den Graphen von

f,

wie du schon richtig erkannt hast, durch Verschiebung einer Normalparabel

(y = x^{2})

um 1 entgegen der x-Richtung. Man hat jetzt aber einfach nur verschoben. Ändert eine (Parallel-)Verschiebung etwas daran, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, bzw. wie stark? Nein, natürlich nicht! Daher ist die Parabel, welche

f

beschreibt, genauso nach oben geöffnet, wie die Normalparabel.

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