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zusammenhängende Menge

Universität / Fachhochschule

Tags: Matrix, zusammenhängend

franfine

16:42 Uhr, 23.05.2009

Hallo,

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

Seien $R^{n \times n}$ der Raum aller n- reihigen quadratischen Matrizen A = ( $a_{i k}$ ) mit der Norm $∥ A ∥ = (\sum_{i, k = 1}^{n} a_{i k}^{2})^{\frac{1}{2}}$ und $M_{n}$ die Gruppe der bezgl. der Matrizenmultiplikation invertierbaren Matrizen in $R^{n \times n}$ . Begründen Sie, dass $M_{n}$ keine zusammenhängende Menge ist.

Tipp: Betrachten Sie f(A)=detA.

Mit der Definition von zusammenhängend kommt man hier wohl nicht weiter. Es hat was damit zu tun, dass eine Menge zusammenhängend ist, wenn jede stetige Funktion den Zwischenwert annimmt.

Bitte helft mir!

Gruß, fran

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

pepe1 aktiv_icon

19:03 Uhr, 24.05.2009

Kleine Hinweise seien erlaubt:
1.)Satz: Das stetige Bild einer zusammenhängenden Menge ist zusammenhängend.

2 .)

stetige Funktion wie schon angegeben:

f : A \to det A; ℝ^{n \cdot n} \to R

3 .)

sich klarmachen, daß es sich um eine stetige Funktion handelt.
Überlege, daß

det A

ein Polynom ( also stet. Funktion)in den

n^{2}

Matrixelementen ist und

A \to 0

genaudann, wenn

| | A | | = \sum ... \to o

genaudann, wenn a_ik

\to 0

für alle

i, k .

4 .) A

invertierbar genaudann, wenn

det A \neq 0

5 .) f (A) \subset M_{1}

vereinigt

M_{2}

wobei:

M 1 =] - \infty; 0 [M_{2} =] 0 : \infty [

Wir können also zwei offene Teilmengen angeben, sodaß

M_{1}

geschnitten

f (A) \neq

leere Menge; ebenso

M_{2}

geschnitten

f (M_{2}) \neq

leere Menge sowie

M_{1}

geshn.M_2 geschn f(A)=leere Menge und

(M_{1}

geschn

f (A))

vereinigt

(M_{2}

geschn

f (A)) = f (A)

Damit folgt mit dem unter

1 .)

zitierten Satz die Beh.

mit ZWS : wegen 4.)ist 0 nicht Element

f (A),

jedoch etwa

- 1

und

1 \in f (A); 0

ZW von

[- 1; 1]

MfG

franfine

19:11 Uhr, 24.05.2009

Ganz ganz lieben Dank.

Du hast mir mal wieder aus der Klemme geholfen.

Gruß fran

pepe1 aktiv_icon

19:21 Uhr, 24.05.2009

Noch Fragen?
Ich helfe gerne.

Danke !

Das positive Echo freut mich umso mehr, als sich offensichtlich, wie geschehen, gewisse Leute "provoziert" fühlen und statt mit der gebotenen Sachlichkeit mit Attacken und Pöbeleien reagieren.

Leider.

Nochmals Danke.

MfG

franfine

15:15 Uhr, 25.05.2009

Nichts liegt mir ferner, als hier rumzupöbbeln oder ähnliches. Obwohl ich mir größte Mühe gebe, habe ich mit der Analysis-Übungsserie immer wieder Probleme und da bin ich froh, wenn es Menschen gibt, die schlauer sind als ich und mir helfen können.
Ich kann nur noch mal wiederholen: vielen vielen Dank!!!

Gruß, fran

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