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zwei Geraden parameterfrei ebene

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Tags: eben, parameterfrei, Vektor

tegharin34 aktiv_icon

21:31 Uhr, 13.12.2021

Hallo vielleicht kann jemand helfen?

aus den zwei parallelen geraden soll eine parameterfreie Ebenengleichung berechnet werden.

g_{1} : \vec{x} : (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

g_{2} : \vec{x} : (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

Ich hätte jetzt gesagt

E; \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + t ((\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}))

\Rightarrow E; \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})

Aber das ist ja nicht Parameterfrei. wie bekomme ich eine parameterfreie Ebenengleichung zustande?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

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21:37 Uhr, 13.12.2021

Parameterfrei wäre es

a x + b y + c z = d

.
Also müssen alle

(3, 1, 1) + λ (1, 2, 2)

sowie alle

(1, 3, 1) + λ (1, 2, 2)

diese Gleichung erfüllen:

a (3 + λ) + b (1 + 2 λ) + c (1 + 2 λ) = d

a (1 + λ) + b (3 + 2 λ) + c (1 + 2 λ) = d

.

Damit diese Gleichungen für alle

λ

gelten, muss

a + 2 b + 2 c = 0

sein.
Außerdem haben (für

λ = 0)

zwei Gleichungen

3 a + b + c = d

a + 3 b + c = d

.
Das System aus diesen 3 Gleichungen muss gelöst werden. (Die Lösung ist nicht eindeutig, denn

a, b, c, d

können mit einen Zahl

\neq 0

multipliziert werden, und es bleibt dieselbe Ebene).

tegharin34 aktiv_icon

21:48 Uhr, 13.12.2021

In diesem Gleichungssystem sind doch aber 4 unbekannte und drei Gleichungen? da bleibt doch was über
oder erübrigt sich

d,

da es 0 sein muss?

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22:01 Uhr, 13.12.2021

"In diesem Gleichungssystem sind doch aber 4 unbekannte und drei Gleichungen?"

Ich hab doch geschrieben, dass Lösung nicht eindeutig ist. :-O

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22:02 Uhr, 13.12.2021

"da bleibt doch was über oder erübrigt sich d, da es 0 sein muss?"

Woher hast du das?

d

muss nicht

0

sein.
Aber

a, b, c, d

sind nicht eindeutig. Denn z.B.

x + 2 y + z = 1

und

2 x + 4 y + 2 z = 2

ist dieselbe Ebene.

tegharin34 aktiv_icon

22:11 Uhr, 13.12.2021

Mein Fehler

Ich habe das Gleichungssystem mal versucht aufzulösen;

a + 2 b + c = 0

3 a + b + c = d

a + 3 b + c = d

a = 0,4 d

b = 0,4 d

c = - 0,6 d

d = 1 d

rundblick aktiv_icon

22:33 Uhr, 13.12.2021

.
es gibt viele mögliche Lösungswege

Beispiel

1 \to

wenn du das vektorielle Produkt (Kreuzprodukt) kennst, kannst du mit zwei Richtungsvektoren
der Ebene einen Normalenvektor

\vec{n}

ermitteln
Beispiel:

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) X (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})

die Koordinaten von

\vec{n}

sind die Vorzahlen der Ebenengleichung

\Rightarrow

2 x + 2 y - 3 z = d . .

. durch Einsetzen eines bekannten Punktes

(P_{1})

bekommst du

d ... (= 5)

Beispiel

2 \to

du kannst drei beliebige Punkte der Ebene frei wählen
(möglichst einfache Koordinaten.. zB zwei auf

g_{1},

einer auf

g_{2})

die Koordiaten dann einsetzen in ax+by+cz

= d

du bekommst drei Gleichungen mit einem freien Parameter ..fertig.

- - - - - - - - - -

und jetzt noch zu deiner Lösung:

a = 0,4 d

b = 0,4 d

c = - 0,6 d

d = 1 d ... ...

. setze jetzt zB für

d = 5 .

. :-)

Ebenengleichung

\Rightarrow . .

.
.

tegharin34 aktiv_icon

23:13 Uhr, 13.12.2021

Setz man dann das

d (- 5)

aus Beispiel

1

in das Gleichungssystem aus den drei gleichungen ein ?
--zum Verständnis--

- - - - - - - - -

ich werde mal 5 einsetzten und gucken

tegharin34 aktiv_icon

02:05 Uhr, 14.12.2021

Jedenfalls

a = 0,4 \cdot 5 = 2

b = 0,4 \cdot 5 = 2

c = - 0,6 \cdot 5 = - 3

d = 1 \cdot 5 = 5

\Rightarrow E; 2 + 2 + (- 3) = 5

Respon

02:13 Uhr, 14.12.2021

Und wie lautet jetzt die parameterfreie Gleichung deiner Ebene ?

tegharin34 aktiv_icon

14:10 Uhr, 14.12.2021

parameterfreie Darstellung;

(E) : 2 x + 2 y + (- 3) z - 5 = 0

tegharin34 aktiv_icon

00:52 Uhr, 15.12.2021

ist dies richtig?

Respon

00:59 Uhr, 15.12.2021

Siehe Grafik

tegharin34 aktiv_icon

18:53 Uhr, 15.12.2021

Super

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1547199

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