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zweielementige Menge, nicht anordnbarer Körper

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Axiom, Körper, Menge

SoNyu

07:14 Uhr, 25.05.2013

Hallo ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe:

Definiere auf einer beliebigen zweielementigen Menge

{\bar{0}, \bar{1}}

Addition und Multiplikation.
Zeige, dass

{\bar{0}, \bar{1}}

ein Körper ist, der jedoch nicht angeordnet werden kann.

Um zu zeigen, dass diese Menge ein Körper ist muss ich ja bloß die fünf Körperaxiome prüfen, ob diese alle gelten, und um zu zeigen, dass man diesen Körper nicht anordnen kann die drei Ordnungsaxiome, wo es schließlich mindestens an der Monotonie scheitert. Bei der Transitivität und dem Trichotomiegesetz habe ich nämlich kleine Probleme.

Also:

Dann ist

\bar{0}

mein neutrales Element der Addition und

\bar{1}

mein neutrales Element der Multiplikation (darf ich das einfach so definieren, bzw. muss ich das überhaupt so definieren?)

Zu erst einmal stelle ich fest, dass

\bar{0} + \bar{0} = \bar{0}

\bar{0} + \bar{1} = \bar{1}

\bar{1} + \bar{0} = \bar{1}

\bar{1} + \bar{1} = \bar{0}

und

\bar{0} \cdot \bar{0} = \bar{0}

\bar{0} \cdot \bar{1} = \bar{0}

\bar{1} \cdot \bar{0} = \bar{0}

\bar{1} \cdot \bar{1} = \bar{1}

ist.

Nun zeige ich das erste Körperaxiom, die Kommutativität:

\bar{0} + \bar{1} = \bar{1} + \bar{0} = \bar{1}

und

\bar{0} \cdot \bar{1} = \bar{1} \cdot \bar{0} = \bar{0}

ist.
Hier dann erstmal die Frage ob es reicht sich speziell eines rauszupicken und dies dann zu zeigen, oder muss ich es auch wirklich für alle möglichen Kombinationen tuen?

Nun zeige ich die Assoziativität:

\bar{0} + (\bar{0} + \bar{1}) = (\bar{0} + \bar{0}) + \bar{1} = \bar{1}

\bar{0} \cdot (\bar{0} \cdot \bar{1}) = (\bar{0} \cdot \bar{0}) \cdot \bar{1} = \bar{0}

Jetzt habe ich hier die selbe Frage wie oben. Reicht es einen Fall zu zeigen, oder muss ich alle zeigen. Außerdem muss ich ja um Assoziativität zu zeigen prüfen ob ich wirklich "klammern setzten darf wie ich will". Dazu muss ich ja eine Addition oder Multiplikation zwischen mindestens drei zeigen, oder geht dies auch besser?

Bei der Distributivität weiß ich nicht genau wie das geht:

\bar{1} \cdot (\bar{0} + \bar{0}) = \bar{1} \cdot \bar{0} + \bar{1} \cdot \bar{0} = \bar{0} + \bar{0} = \bar{0}

Hier auch die übliche Frage.

Die existenz neutraler Elemente hatte ich oben bereits so definiert.

Damit hätte ich nun gezeigt, dass es ein Körper ist.

Nun zeige ich, dass man ihn nicht anordnen kann.

Ich weiß, dass es an der Monotonie scheitern muss. Diese besagt ja:

Ist

a < b

so gilt

a + c < b + c

für jedes

c

und

a c < b c

für jedes

c > 0

Nun habe ich:

\bar{0} < \bar{1}

(müsste ich das auch vorher definieren?)

Dann ist

\bar{0} + \bar{1} < \bar{1} + \bar{1}

\Rightarrow

\bar{1} < \bar{0}

Das widerspricht dem Monotoniegesetz. Der Körper kann also nicht angeordnet werden.
Muss ich dann Trichotomie und Transitivität auch noch zeigen bzw. widerlegen? Es ist ja ohnehin schon gescheitert.
Wäre zum Beispiel die Ungültigkeit der Trichotomie damit auch gezeigt? Es kann ja nur stehts eine der Beziehungen

a < b

a = b

oder

a > b

gelten und das ist ja gerade der Grund weshalb es an der Monotonie scheitert.
Für die Transitivität benötigte ich ein drittes Element. Meine Menge hat aber nur zwei Elemente.
Scheitert dieses also daran?

Vielen Dank für eure Hilfe.

:-)

Edit: Ein paar copy & paste Fehler beseitigt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

SoNyu

09:01 Uhr, 26.05.2013

Niemand der mir helfen möchte?

SoNyu

15:23 Uhr, 27.05.2013

Wirklich niemand, der mir helfen möchte?

SoNyu

18:04 Uhr, 28.05.2013

Schade, dass mir niemand eine Rückmeldung geben möchte.
Ich habe mir so viel Mühe gemacht immer den Oberstrich zu erzeugen. :(

Minerva aktiv_icon

05:36 Uhr, 29.05.2013

Dann ist

\bar{0}

mein neutrales Element der Addition und

\bar{1}

mein neutrales Element der Multiplikation (darf ich das einfach so definieren, bzw. muss ich das überhaupt so definieren?)

du brauchst ein neutrales Element der Addition und eins der Multiplikation, welches Element du als welches nimmst bleibt dir überlassen. Aber so ist es vermutlich am übersichtlichsten.

Du definierst also erstmal Addition und Multiplikation über deiner Menge.

Hier dann erstmal die Frage ob es reicht sich speziell eines rauszupicken und dies dann zu zeigen, oder muss ich es auch wirklich für alle möglichen Kombinationen tuen?

Wenn du die Abbildungen so definierst wie du es tust, musst du es für alle möglichen Kombinationen zeigen. Wenn du es z.B. folgendermaßen definierst, kannst du es auch allgemein zeigen (hier über

{0, 1}

(Isomorphie lässt sich leicht begründen)):

plus

: K \times K \to K

(x, y) \mapsto x + y

mod

2

mal

: K \times K \to K

(x, y) \mapsto x y

Kommutativität:

x

plus

y

x + y

mod

2 = y + x

mod

2 = y

plus

x

Distributivität:

a

mal

(b

plus

c) = a \cdot ((b + c

) mod

2) = a b

mod

2 + a c

mod

2

(Assoziativität: [...])

Und nun die Monotonie:
angenommen

0 < 1

. Dann gilt aber

1

plus

1 = 1 + 1

mod

2 = 0 > 0 + 1

mod

2 = 1

- Widerspruch
nun nehmen wir an

1 < 0

. Dann gilt

1

plus

0 = 1 + 0

mod

2 = 1 > 1 + 1

mod

2 = 0

- Widerspruch

Trichtonomie und Transitivität müsstest du dann nicht mehr extra zeigen (es sei denn du schreibst gerne)

Aber grundsätzlich:
Transitivität ist folgendermaßen definiert (wobei

R

eine Relation ist):

R (a, b) \land R (b, c) \Rightarrow R (a, c)

, d.h. diese Gleichung muss für alle Elemente der Relation

R

(hier

<

) gelten. Wenn

R

nur 1 Element enthält ist das natürlich trivial (

R (a, b) \land R (a, b) \Rightarrow R (a, b)

)

SoNyu

11:19 Uhr, 29.05.2013

Vielen Dank für deine Antwort.

Mit der Modulorechnung und Isomorphismen hatte ich leider noch nichts zu tuen.
Ich arbeite derzeit mit einem Buch um in die Hochschulmathematik hineinzuschnuppern.

Okay, ich müsste es also für jede Kombination zeigen.

Vom Prinzip her bin ich aber richtig vorgegangen? Ich müsste diese Vorgehensweise nun lediglich auf die weiteren Kombinationen anwenden?

Bummerang

12:47 Uhr, 29.05.2013

Hallo,

"Nun zeige ich das erste Körperaxiom, die Kommutativität:

. .

.
Hier dann erstmal die Frage ob es reicht sich speziell eines rauszupicken und dies dann zu zeigen, oder muss ich es auch wirklich für alle möglichen Kombinationen tuen?"

Die Frage wurde generell schon beantwortet, aber stelle in Zukunft solche Festlegungen für Addition und Multiplikation einfach in einer Tabelle dar, so dass die Reihenfolge der Elemente in der Zeile und der Spalte gleich ist. Am Ende schreibst Du einfach, dass die Verknüpfungstabelle symmetrisch ist und deshalb die Verknüpfung kommutativ ist.

Bei der Assoziativität kann müsste man auch alle 8 Fälle der Anordnung der Elemente auflisten, es geht aber auch so:

x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z

Wenn

x = e (\circ

steht für beide Operationen,

e

für das jeweilige neutrale Element), dann ist das Ergebnis auf der linken Seite wegen der Eigenschaft von

e

bzgl. ° gleich

y \circ z

. Auf der rechten Seite ergibt sich in der Klammer wegen der Eigenschaft von

e

bzgl. ° der Wert

y

und insgesamt ebenfalls

y \circ z

. Analog gilt das für

z = e

. Bleiben nur die Fälle, in denen

x = z = \bar{e} \neq e,

das andere Element ist. Dann aber gibt es zwei Fälle:

y = e :

Dann steht sowohl links als auch rechts das

e

innerhalb der Klammer und der Klammerausdruck ergibt

\bar{e}

und der gesamte Term

\bar{e} \circ \bar{e}

y = \bar{e} :

Das könnte man dann einfach aufschreiben.

SoNyu

16:13 Uhr, 29.05.2013

^^ Eine solche Verknüpfungstafel habe ich erstellt, bloß nicht hier angehängt.
Danke für den Hinweis, dass dies ausreicht.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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