zweimaliger partieller Integration

${\displaystyle \int {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

ermitteln sie mittels zweimaliger partieller Integration...

${\displaystyle \int {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }*\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\int \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

das ist ne allgemeine Formel, mein Problem ist das ich damit nicht ganz klar komme. Vllt. gibt es noch ne einfachere Formel... Weiss aber nicht wann ich die Stammfkt. bilden muss und wann ich Ableite.

Irgendwie verwirrt mich das...

Kann mir da jemand helfen?

ich habe es allgemein noch nicht verstanden... :-)

wie ich die Formel grob benutzen muss/kann ist mir ungefähr bewusst, glaube ich.

Ich habe schon gelesen, dass ich auch Ableiten muss aber ich muss doch die Stammfkt. bilden bei Integralen?!

Hm... So ganz klar ist mir das nicht...

die partielle integration kommt schlicht und einfach von der produktregel der differentiation:

$$\begin{gathered} {\displaystyle {(\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{\prime }={\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\Rightarrow {(\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{\prime }-\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }={\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\Rightarrow \int [{(\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{\prime }-\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }]=\int \left({\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right) \\ \Rightarrow \int \left({\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=(\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\int \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }} \end{gathered}$$

ok, soviel mal zur hintergrundinfo...

der trick dabei ist, dass man das ganze als gleichungssystem sieht.

das heißt, wenn man schafft, das das die beiden (hab sie in eckige klammern gepackt) integrale links und rechts gleich sind, (oft auch durch mehrmalige partielle integration)

dann kann man einfach das gleichungssystem lösen und erhält durch diesen trick eine lösung für sein ursprünglich gesuchtes integral.

${\displaystyle [\int {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]={\left(\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{\prime }-[\int \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }]\Rightarrow \mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}[\int {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]=[\int \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }]\Rightarrow 2[\int {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]={\left(\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{\prime }\Rightarrow [\int {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]=\frac{{\left(\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{\prime }}{2}}$

alles klar ich dürfte es haben

danke schön

alles klar ich dürfte es haben

danke schön

immer wieder gerne :-)