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zweistufiges Transportproblem / Umladeproblem

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Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik

mira-gerste aktiv_icon

18:22 Uhr, 04.02.2014

Hallo ihr lieben Leute,

ich habe ein ganz großes Problem. Montag muss ich eine mündliche Prüfung über Umladeprobleme halten und hoffentlich auch bestehen, nur ich scheiter an meinem Thema, sobald es mathematisch wird, deshalb brauche ich eure Hilfe.

Hier ist das, was ich schon weiß:
Ein Umladeproblem ist im Prinzip ein Transportproblem. Ein Produzent produziert

x

ME, der Verbraucher frag

(\in

einer vereinfachten Version) genau

y

ME nach.
Die Güter werden jedoch nicht direkt zu dem Verbraucher geschickt, sondern werden an Umschlagsplätzen noch umgeladen.
In meinem Beispiel gibt es einen Produzenten, zwei Umschlagsplätze und einen Verbraucher.
So, gegeben ist, dass der Produzent 3 ME produziert und der Verbraucher 3 ME nachfragt. Außerdem sind die Transportkosten gegeben:

Von Produzent

(1)

zu Umschlagsplatz (2)

= 1

GE
Von Produzent

(1)

zu Umschlagsplatz (3)

= 4

GE
Von Umschlagsplatz

(2)

zu Umschlagsplatz (3)

= 2

GE
Von Umschlagsplatz

(2)

zu Verbraucher (4)

= 6

GE
Von Umschlagsplatz

(3)

zu Verbraucher (4)

= 3

GE

Ich habe auch noch Bedingungen die erfüllt werden müssen:

Minimiere

F (x) = 1 x 12 + 4 x 13 + 2 x 23 + 6 x 24 + 3 x 34

x 12 + x 13 = 3

- x 12 + x 23 + x 24 = 0

- x 13 - x 23 + x 34 = 0

- x 24 - x 34 = - 3

Und jetzt weiß ich einfach nicht mehr weiter.
Ich hab schon diverse andere Beispiele probiert und versage immer kläglich.

Bitte,bitte helft mir!

Eure Mira

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Matlog aktiv_icon

22:34 Uhr, 04.02.2014

Diese spezielle Aufgabe ist relativ leicht zu lösen.

Der "Umweg" von

(1)

über

(2)

nach

(3)

ist billiger als direkt von

(1)

nach

(3)

.
Genauso geht es von

(2)

über

(3)

nach

(4)

billiger als direkt von

(2)

nach

(4)

.

Deshalb kann man von vornherein

x_{13} = 0

und

x_{24} = 0

setzen.
Dann bleibt aber keine Wahlmöglichkeit mehr. Es entstehen Kosten von

18

GE.

Aber das sagt Dir wohl noch nicht, wie Du andere Aufgaben lösen kannst.

mira-gerste aktiv_icon

11:57 Uhr, 05.02.2014

Vielen Dank schon mal, nur mir erschließen sich die Nebenbedingungen auch gar nicht.

Wieso ist bei der letzten Bedingung der "Endwert" negativ? also das heißt für mich, dass der Verbraucher -3ME nachfragt und das macht ja iwie keinen Sinn oder?
Und muss ich das mit einem Gleichungssystem lösen?

Weil ich habe noch eine andere Aufgabe, die anscheinend mit einem Gleichungssystem gelöst werden muss, nur selbst dahin finde ich keinen Weg.

Matlog aktiv_icon

12:28 Uhr, 05.02.2014

Die letzte Bedingung kannst Du auch anders schreiben:

x_{24} + x_{34} = 3

Also sollen 3 ME beim Verbraucher

(4)

ankommen.
Allerdings müssen an den Umschlagplätzen (also zweite und dritte Nebenbedingung) ankommende und abgehende Mengen mit unterschiedlichen Vorzeichen gerechnet werden.
Deshalb haben die in allen Nebenbedingungen immer Ausgänge positiv und Eingänge negativ gerechnet.

Die ersten drei NB ergeben addiert die vierte NB (mal

- 1)

. Deshalb ist eine Gleichung überflüssig.
Mit drei Gleichungen kann man drei (von fünf) Variablen in der zu minimierenden Funktion

F

ersetzen.

Man könnte

z . B

. so vorgehen:

x_{34} = 3 - x_{24}

x_{12} = 3 - x_{13}

und nach Addition der ersten beiden NB

x_{23} = 3 - x_{13} - x_{24}

Nach Einsetzen dieser drei Gleichungen in

F

ergibt sich

F (x_{13}, x_{24}) = x_{13} + x_{24} + 18

Dies wird minimal für

x_{13} = x_{24} = 0

mira-gerste aktiv_icon

12:54 Uhr, 05.02.2014

Ich glaube ich bin da einfach zu blöd für.

Dass die 4.NB überflüssig ist, hab ich verstanden, auch dass die Ausgänge positiv und Eingänge negativ sind.
Jetzt kann ich auch die gesamten NB nachvollziehen.

Aber wieso muss ich die Gleichungen umformen und nach welchem Kriterium suche ich mir die aus, die ich umforme?

Selbst wenn ich nach deinem Schema vorgehe und die genannten umgeformten Variablen in die zu minimierende Funktion

F (x)

einsetze, komme ich einfach nicht auf die Funktion die du mir aufgeschrieben hast

- . -'

Den Weg in dem Beispiel kann ich ja auch nachvollziehen und wie man auf

18

GE kommt auch, nur ich kann es einfach nicht rechnerisch

: (

Kannst du es mir noch mal so erklären, als wenn ich völlig bescheuert wäre?
Mir geht der Arsch echt auf Grundeis mittlerweile, weil kein Mensch mir wirklich helfen kann.

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13:07 Uhr, 05.02.2014

Du hast 4 NB, von denen eine überflüssig ist.
Das ergibt ein Gleichungssystem: 3 Gleichungen mit 5 Variablen.
Dieses hat unendlich viele Lösungen. Diese Lösungen kann man in Abhängigkeit von zwei

(5 - 3 = 2)

Variablen angeben. Ich habe alle anderen mit Hilfe von

x_{13}

und

x_{24}

ausgedrückt, das geht aber auch mit anderen.

Du brauchst hier halt eine Technik, diese Lösungen zu bestimmen,

z . B

. mit Gauß-Verfahren auf Zeilen-Stufen-Form bringen (oder was auch immer sonst noch sowas löst).

F = x_{12} + 4 \cdot x_{13} + 2 \cdot x_{23} + 6 \cdot x_{24} + 3 \cdot x_{34}

jetzt meine drei Gleichungen einsetzen:

F = (3 - x_{13}) + 4 \cdot x_{13} + 2 \cdot (3 - x_{13} - x_{24}) + 6 \cdot x_{24} + 3 \cdot (3 - x_{24})

Das kannst Du jetzt sicher selbst vereinfachen.

mira-gerste aktiv_icon

13:24 Uhr, 05.02.2014

Ich hab's endlich :-)

Vielen, vielen Dank!

Ich stelle einfach das Beispiel vor und hoffe, dass nicht allzu viele Fragen kommen ;-)

1000

Dank!!!

mira-gerste aktiv_icon

15:09 Uhr, 05.02.2014

Ich hab doch nochmal ne Frage:

Wenn ich ein Gleichungssystem aufstelle, dann kann ich mir ja rechnerisch den Beweis ermitteln, dass die 4.NB überflüssig ist.

Nur wie kann ich (ohne meine Zeichnung vorher gesehen zu haben) wissen, anhand welcher Variablen ich minimale Transportkosten erreiche?!

Du hast ja

x_{12}, x_{34}

und

x_{23}

genommen (was ja auch verständlich ist, wenn man sich den Weg vorher anschaut), nur wie kommst du auf diese?

Wenn ich das versuche mit

x_{13}

beispielsweise kommt logischerweise ein anderer Wert raus (welcher dann wiederum nicht dem Kostenminimum entspricht).

Wie komme ich in jedem Fall zur optimalen Lösung?

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16:51 Uhr, 05.02.2014

Die vierte Gleichung kannst Du ruhig dazu nehmen. Die wird automatisch irgendwann zu einer immer wahren Aussage wie

0 = 0

.

Du kannst auch alles von zwei anderen Variablen abhängig bestimmen:

x_{13} = 3 - x_{12}

(aus 1.NB)

x_{23} = x_{12} - x_{24}

(aus 2.NB)

x_{34} = 3 - x_{24}

(aus 4.NB)

Diese 3 Gleichungen in

F

eingesetzt ergibt:

F (x_{12}, x_{24}) = - x_{12} + x_{24} + 21

Alle fünf Variablen müssen ja zwischen 0 und 3 liegen (ganzzahlig?)
Ganz offensichtlich wird dieses

F

minimal für

x_{12} = 3

und

x_{24} = 0, d . h

. man erhält genau das gleiche Ergebnis wie in der ersten Rechnung oben.

mira-gerste aktiv_icon

08:49 Uhr, 06.02.2014

Danke, dass du so viel Geduld mit mir hattest ;-)

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