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zyklische Gruppe, Ordnung 15

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Gruppen

Tags: Gruppen

Didgeridoo aktiv_icon

22:35 Uhr, 13.08.2011

Ich verstehe den Beweis, dass jede Gruppe der Ordnung 15 zyklisch ist, nicht wirklich.
Ich hoffe, ihr könnt mir da etwas auf die Sprünge helfen:
G eine Gruppe der Ordnung 15. Nach dem 3. Sylow'schen Satz, gibt es also nur eine 3-Sylowuntergruppe H und eine 5-Sylowuntergruppe K. Soweit verstehe ich noch jetzt gilt:

K \cap H = {1}

Da kann man doch den 2. Sylow Satz anwenden und weil H und K Normalteiler sind, gilt,

H = g H g^{- 1}

, somit ist

K \cap H

eine Sylowuntergruppe, diese hat entweder Ordnung 1 oder Ordnung

5^{e}

hat, aber zweiteres kann man ausschliessen, da 3 ja kleiner 5 ist, oder?
Kann es nicht sein, dass die 3-Sylowuntergruppe eine Untergruppe der 5-Sylowuntergruppe ist? Wieso nicht?
Weiter gehts:

K H = G

gilt, da die Ordnung der Untergruppe

K H

grösser als 5 ist. Was ist hier der Zusammenhang? Wir wissen, dass G zu

H \times K

isomorph ist. Der Rest ist klar. Dann ist insbesondere auch

C_{15}

isomorph zu

H \times K

und damit alle Gruppen der Ordnung 15 in der Isomorphieklasse der Gruppe

C_{15}

liegen und somit zyklisch sind.
Wäre froh um eure Hilfe!!
Vielen Dank!

michaL aktiv_icon

22:42 Uhr, 13.08.2011

Hallo,

du weißt aber schon, dass der Durchschnitt zweier

p

-Sylowuntergruppen für verschiedene

p

immer gleich

{1}

ist, oder?

Ist

x \in U_{3}

, der 3-Sylowuntergruppe und ebenfalls

x \in U_{5}

, der 5-Sylowuntergruppe, so müsste die Ordnung von

x

insbesondere sowohl eine Potenz von 3 als auch von 5 sein.
So viele Potenzen haben 3 und 5 nicht gemeinsam.

Mfg Michael

Didgeridoo aktiv_icon

22:49 Uhr, 13.08.2011

Ach, so ja klar. Danke. Weisst du noch eine Antwort auf meine zweite Frage. Wieso gilt G=KH, wenn die Ordnung grösser als 5 ist?

michaL aktiv_icon

23:01 Uhr, 13.08.2011

Hallo,

nun, eigentlich müsstest du allgemein für zwei Normalteiler

K, H

von

G

zeigen können, dass die Abbildung

φ : {\binom{K \times H \to K H \leq G}{(x, y) \mapsto x y}

bijektiv ist.

Injektiv: Sei

φ (x, y) = x y = 1

, d.h. wegen

x \in K

und

y = x^{- 1} \in H \cap K

folgt

x = y = 1

. Also wird nur das neutrale Element auf das neutrale Element abgebildet, d.h.

φ

ist injektiv.

Damit muss Das Bild von

φ

aber auch 15 Elemente haben (soviele wie

K \times H

), woraus auch die Bijektivität folgt.

Allerdings hat euer Prof eine Abkürzung genommen.

K H \leq G

ist klar. Damit muss

∣ K H ∣

ein Teiler von

∣ G ∣

sein. Oberhalb von 5 gibt es nicht mo sehr viele Teiler von

15 = ∣ G ∣

. ;-)

Mfg Michael

Didgeridoo aktiv_icon

23:14 Uhr, 13.08.2011

Ach so... Alles klar!! :-) Danke vielmals!!

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