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zyklische Gruppen überprüfen

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Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

 
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Bierlu

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10:07 Uhr, 20.06.2018

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Hallo zusammen,

Ich muss prüfen welche Gruppen zyklisch sind.
((ℤ/m), •) für m=2,3,4,5,6,7,8,9,10

Wie gehe ich das an ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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11:19 Uhr, 20.06.2018

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Hallo,
du bestimmst zunächst die Mengen Zm*:=((Z/mZ)*,⋅). Wenn die Anzahl der
Elemnte eine Primzahl oder =1 ist, dann liegt schon mal eine zyklische Gruppe vor.
In allen anderen Fällen musst du eben gucken, ob alle Elemente Potenzen eines
einzigen Elementes sind, dann ist die Gruppe zyklisch, sonst nicht.
Gruß ermanus
Bierlu

Bierlu aktiv_icon

11:54 Uhr, 20.06.2018

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Okay,
das wären dann für
m=2⇒{1} ->zyklisch
m=3⇒{1,2}→ zyklisch
m=4⇒{1,3} ->zyklisch
m=5⇒{1,2,3,4}
m=6⇒{1,5}→ zyklisch
m=7⇒{1,2,3,4,5,6}
m=8⇒{1,3,5,7}
m=9⇒{1,2,4,5,7,8}
m=10⇒{1,3,7,9}


aber wie zeige ich das jetzt über die potenzen?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:00 Uhr, 20.06.2018

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Beispiel m=5:
Die Potenzen von 1 sind immer nur 1, also kann die 1 die Gruppe nicht erzeugen.
Testen wir also die 2:21=2,22=4,23=3,24=1,
d.h. die 2 erzeugt mit ihren Potenzen die ganze Gruppe, also ist Z5* zyklisch.
Frage beantwortet
Bierlu

Bierlu aktiv_icon

07:37 Uhr, 21.06.2018

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Jetzt verstehe ich! Dank dir :-)