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zyklische Gruppe,surjektiver Gruppenhomomorphismus

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Tags: zyklische Gruppen

Peter857 aktiv_icon

11:55 Uhr, 13.02.2019

Hallo,

bei dem folgenden Beweis, weis ich einfach nicht weiter...

Zeigen Sie, dass eine Gruppe

G

genau dann zyklisch ist, wenn es einen subjektiven Gruppenhomomorphismus

f : Z \to G

gibt.

Könnte mir da jemand einmal helfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

13:42 Uhr, 13.02.2019

Hallo,

G

zyklisch bedeutet, dass es ein

a \in G

gibt mit

G = {a^{z} ∣ z \in ℤ}

.
Nun mache dir Gedanken über die Abbildung

f : ℤ \to G, z \mapsto a^{z}

...
Gruß ermanus

godzilla12 aktiv_icon

15:20 Uhr, 13.02.2019

(G; ⋆)

sei zyklisch. Das heißt es gibt ein Erzeugendes a

\exists a | \forall b

€

G \exists n = n (b)

€

ℤ : b = a^{n} (1)

Auf der ( additiven ) Gruppe

(ℤ; +)

führe ich jetzt eine Abbildung

φ

ein

φ : ℤ \to G (2 a)

n \to a^{n} (2 b)

Zu zeigen:

φ

ist der verlangte surjektive Homomorphismus. Surjektiv ist klar ( oder trivial, wie die gebildeten Mathematiker sagen. ) Denn ein vorgegebenes

(a^{n})

ist ja Bild von

n

. Für die Homomorphie_Eivgenschaft ist nachzuprüfen

φ (m + n) = φ (m) φ (n) (3 a)

Prüfen wir es nach.

φ (m + n) = a^{m + n}; φ (m) ⋆ φ (n) = a^{m} ⋆ a^{n} (3 b);

wzbw

Jetzt müssen wir die Umkehrung zeigen; du wirst sehen: Die Sache bleibt die selbe, nur die Gewichte verschieben sich. Von Abbildung

(2 a)

VERLANGE ich jetzt, dass sie ein Homomorphismus sein soll und setze

a := φ (1) (4 a)

Mit

(4 a)

folgen aber aus der Homomorphie schon sämtliche übrigen Bilder:

φ (2) = φ (1 + 1) =

a²

(4 b)

Und induktiv hast du zu zeigen

φ (n) = φ (1 + 1 + . .

+ 1) = a^{n} (4 c)

Weitere Voraussetzung:

φ

war surjektiv. Sei also

b

€

G

. Dann gibt es

m

\exists m = m (b) | b = φ (m) = a^{m} (5)

womit gezeigt ist, dassa ein Erzeugendes ist.

Peter857 aktiv_icon

23:00 Uhr, 14.02.2019

Ich danke dir für deine Mühe :-)

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