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zz: Die Umlaufzahl ist eine ganze Zahl

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Wegintegral

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LightGirl

LightGirl aktiv_icon

16:15 Uhr, 07.06.2015

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"Für

w \in ℂ

und einen geschlossenen

(γ (a) = γ (b)),

stetigen und stückweise stetig differenzierbaren Weg

γ : [a, b] \to ℂ

mit

w \notin γ ([a, b])

ist die Umlaufzahl von

γ

um

w

definiert durch

η (γ, w) := (\frac{1}{2 i π}) \int_{γ} (\frac{1}{z - w}) d z

Zeigen Sie, dass

η (γ, w) \in ℤ

.

Hinweis (den wir verwenden müssen): Setzen Sie

g (t) := \int_{a}^{t} (\frac{γ' (s)}{γ (s) - w})

ds und leiten dann

e^{- g (t)} (γ (t) - w)

nach

t

ab. Was bedeutet das Ergebnis, wenn Sie

e^{- g (b)}

und

e^{- g (a)}

vergleichen?"

Also soll ich

e^{- \int_{a}^{t} (\frac{γ' (s)}{γ (s) - w})} (γ (t) - w)

nach

t

ableiten. Am besten wäre es, davor

\int_{a}^{t} (\frac{γ' (s)}{γ (s) - w})

ds irgendwie zu berechnen, das geht aber nicht, da ich

γ

nicht kenne. Kann man sonst irgendwas tun?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

21:19 Uhr, 07.06.2015

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Hallo,

g

lässt sich nach dem Hauptsatz der (reellen) Differential und Integralrechnung differenzieren.

Gruß pwm

LightGirl

LightGirl aktiv_icon

23:26 Uhr, 08.06.2015

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Ich habs mal so versucht:

zz:

η (γ, w) \in ℤ

g : [a, b] \to ℂ

g (t) = \int_{a}^{t} \frac{γ' (s)}{γ (s) - w}

ds

\frac{\partial e^{- g (t)} (γ (t) - w)}{\partial t} = - g' (t) \cdot e^{- g (t)} \cdot (γ (t) - w) + e^{- g (t)} \cdot γ' (t)

= (γ' (t) - g' (t) \cdot (γ (t) - w)) \cdot e^{- g (t)} = (γ' (t) - \frac{γ' (t)}{γ (t) - w} \cdot (γ (t) - w)) \cdot e^{- g (t)} = (γ' (t) - γ' (t)) \cdot e^{- g (t)} = 0

e^{- g (t)} \cdot (γ (t) - w)

ist konstant

\Rightarrow e^{- g (t)} \cdot (γ (t) - w = c \in ℂ

\Rightarrow e^{- g (t)} = \frac{c}{γ (t) - w}

\Rightarrow e^{- g (a)} = \frac{c}{γ (a) - w} = \frac{c}{γ (b) - w} = e^{- g (b)}

\Rightarrow - g (b) - (- g (a)) \in 2 π i I \Leftrightarrow g (b) = \int_{a}^{b} \frac{γ' (t)}{γ (t) - a} d t

Falls

f (z) = 1 \Rightarrow f

ist holomorph und auch alle anderen Erfordernisse der Cauchyschen Integralformel sind erfüllt

η (γ, w) = \frac{1}{2 π i} \cdot \int_{γ} \frac{1}{z - w} d z = \frac{1}{2 π i} \cdot \int_{a}^{b} \frac{γ' (t)}{γ (t) - w} d t

Passt das so?

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PhantomV

PhantomV aktiv_icon

01:34 Uhr, 09.06.2015

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Der Anfang sieht ganz gut aus. Allerdings beachte bei den letzten Schritten:
Es gilt

e^{- g (a)} = e^{- g (b)} \Leftrightarrow e^{- g (a) + g (b)} = 1

. Wegen

g (a) = 0

und mit den Eigenschaften
der komplexen Exp-funktion folgt dann

g (b) = 2 π i \cdot n,

wobei

n \in Z

.
Das bedeutet

\frac{g (b)}{2 π i} \in Z

. Wenn du nun die Definition von

g

einsetzt steht hier
genau die Behauptung und du bist fertig.

Gruß PhantomV

Frage beantwortet

LightGirl

LightGirl aktiv_icon

02:38 Uhr, 09.06.2015

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Danke!!

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