Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen der Funktion, es sagt aus ob die Funktion steigt, fällt oder konstant ist.

Eine Funktion ist monoton steigend (auch monoton wachsend genannt) wenn sie immer größer wird oder konstant bleibt jedoch nie kleiner wird.



Eine Funktion ist monoton fallend wenn sie immer kleiner wird oder konstant bleibt jedoch nie größer wird.



Wenn eine Funktion weder fällt, noch steigt, dann nennt man sie konstant.



Mit streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend werden Funktionen bezeichnet die nur größer bzw. nur kleiner werden aber niemals konstant sind.

Untersucht man eine Funktion auf Monotonie (ein Bestandteil der Kurvendiskussion [mehr dazu]), dann unterscheidet man gerne zwischen dem Verhalten der Funktion auf ihrem ganzen Definitionsbereich [mehr dazu] und dem Verhalten der Funktion auf bestimmten Bereiche, sogenannte Intervalle.


Monotonie stetiger Funktionen:

Für stetige Funktionen besteht eine Beziehung zwischen Monotonie und Ableitung [mehr dazu].
Es gilt:




Kennt man das Monotonieverhalten einer Funktion, dann kann man eindeutige Aussagen treffen ob die Funktion Extrema [mehr dazu] besitzt, um welche Art von Extrema [mehr dazu] es sich handelt und wie ihre Lage ist.

Beispiele:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=2}$ ist eine konstante Funktion. Ihr Graph verläuft parallel zur x-Achse.



${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}$ ist streng monoton steigend auf ganz ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=ℝ}$.



${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}$ ist streng monoton fallend auf ganz ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=ℝ}$.



${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ ist auf ganz ${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=}ℝ}$ weder monoton steigend, noch monoton fallend, aber zwischen ${\displaystyle -\infty }$ und 0 ist die Funktion streng monoton fallend und zwischen 0 und ${\displaystyle +\infty }$ streng monoton steigend.