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Vektorräume

Tags: Vektorraum

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13:46 Uhr, 31.03.2010

Betrachten Sie den zweidimensionalen reellen arithmetischen Vektorraum .

Gegeben seien zwei Punkte:

(\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}), (\begin{matrix} 7 \\ - 7 \end{matrix})

und ein dritter Punkt:

q = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix})

Bestimmen Sie den Abstand

d

des Punktes

q

von der Geraden durch die ersten beiden Punkte:

d =

? ? ?

und den Punkt auf der Geraden mit minimalem Abstand:

q ⋆ =

? ? ?

jemand eine Ahnung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:59 Uhr, 31.03.2010

www.onlinemathe.de/forum/HNF-Hesseform-einer-Geraden

Parameterform der Geraden durch die 2 Punkte:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) + λ \cdot ((\begin{matrix} 7 \\ - 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix})) = (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix})

mit

\vec{n} = (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})

und

| \vec{n} | = \sqrt{{(23)}^{2} + {(26)}^{2}} = \sqrt{1205}

Hesseform der Geraden:

H N F_{g :} \frac{\vec{n}}{| \vec{n} |} \cdot (\vec{x} - \vec{a}) = \frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix})) = 0

d (\vec{q}, g) = | \frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix})) | = | \frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \end{matrix}) | = | \frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (230 - 260) | = 0,86 L . E

.

Ich "denke", daß es so stimmt. Und diese Seite bestätigt meine Lösung:
http//www.gto.mos.schule-bw.de/unt/jscript/abstand-punkt-gerade.html

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16:01 Uhr, 31.03.2010

okaaaayyyy :-) warum ist

n = (\begin{matrix} 23 \\ - 26 \end{matrix})

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16:28 Uhr, 31.03.2010

Weil

\vec{n}

senkrecht auf

\vec{u}

sein soll, also der Normalenvektor muß senkrecht auf dem Richtungsvektor sein.

\vec{u} \cdot \vec{n}

muß also gleich 0 sein. "Definition Skalarprodukt" .
http//de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt
Wenn

\vec{n}

senkrecht auf

\vec{u}

steht, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren

= \frac{π}{2}

cos (\frac{π}{2}) = 0

Wenn also

\vec{u} = (\begin{matrix} u_{1} \\ . \\ . \\ . \\ . \\ u_{n} \end{matrix}), \vec{n} = (\begin{matrix} n_{1} \\ . \\ . \\ . \\ . \\ n_{n} \end{matrix}), α

der Winkel zwischen

\vec{n}

und

\vec{u}

sein soll und

\vec{n}

und

\vec{u}

senkrecht aufeinander stehen sollten, dann muß folgendes gelten:

α = \frac{π}{2}

\vec{n} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{n} = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \cdot n_{i} = | \vec{u} | \cdot | \vec{n} | \cdot cos (α)

\vec{n} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{n} = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \cdot n_{i} = | \vec{u} | \cdot | \vec{n} | \cdot cos (\frac{π}{2})

\vec{n} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{n} = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} \cdot n_{i} = u_{1} \cdot n_{1} + . .

+ u_{n} \cdot n_{n} = 0

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16:41 Uhr, 31.03.2010

(\begin{matrix} 7 \\ - 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix})

also muss

n

doch

(\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})

sein oder nicht?

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16:52 Uhr, 31.03.2010

Ich habs falsch. Ich korrigiere es gleich. Inzwischen kannst du diesen Beitrag lesen.

Wenn du den zweidimensionalen Rictungsvektor

\vec{u} = (\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \end{matrix})

hast und du suchst den Normalenvektor

\vec{n} = (\begin{matrix} n_{x} \\ n_{y} \end{matrix}),

dann hast du nur eine einzige Bedingung und zwar ist diese, daß das Skalarprodukt verschwindet also gleich 0 ist.

\vec{u} \cdot \vec{n} = (\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} n_{x} \\ n_{y} \end{matrix}) = u_{x} \cdot n_{x} + u_{y} \cdot n_{y} = 0

Du hast 2 unbekannte

(n_{x}

und

n_{y})

und nur eine Gleichung

(u_{x} \cdot n_{x} + u_{y} \cdot n_{y} = 0)

\Rightarrow

Man hat soviele Möglichkeiten

n_{x}

und

n_{y}

zu wählen außer der trivialen Lösung und zwar, daß

\vec{n} = (\begin{matrix} n_{x} \\ n_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

ist.

Also, wenn

\vec{u} = (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix})

Dann kann

\vec{n} = (\begin{matrix} - 23 \\ - 26 \end{matrix}),

denn

(\begin{matrix} - 23 \\ - 26 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix}) = - 23 \cdot 26 + 23 \cdot 26 = 0

\vec{n}

kann auch

\vec{n} = (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})

sein, denn

(\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix}) = 23 \cdot 26 - 23 \cdot 26 = 0

\vec{n}

kann von mir aus

\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \\ \frac{52}{23} \end{matrix}),

denn

(\begin{matrix} 2 \\ \frac{52}{23} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix}) = 26 \cdot 2 - 23 \cdot \frac{52}{23} = 0

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16:57 Uhr, 31.03.2010

ja ok das hab ich ja verstanden :-)

ich probier es mal aus, aber in der Aufgabenstellung steht nichts von runden!?

Und was ist mit

q ⋆

?

Wir haben folgende Formeln aufgeschrieben, vllt hilft das was? :

G : {v | < v, n > = δ}

d = | < q, n ≻ - δ |

q ⋆ = q + (δ - ≺ q, n >) \cdot n

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17:06 Uhr, 31.03.2010

Hier stand SCHWACHSINN! :-)

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17:10 Uhr, 31.03.2010

einfach 2 Sterne

hoernchen aktiv_icon

17:55 Uhr, 31.03.2010

also wie ich

d

bestimme habe ich verstanden, nun fehlt mir nur noch

q ⋆,

kann jemand etwas mit meinen Formeln anfangen?

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18:00 Uhr, 31.03.2010

Ja, ich kann :-P)

g : \vec{v} = (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix})

N F_{g :} (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot (\vec{v} - (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix})) = 0

N F_{g :} (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot \vec{v} - (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) = 0

N F_{g :} (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot \vec{v} = (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) = 23 \cdot - 19 + 26 \cdot 16 = - 21 = δ

\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{v} = δ \Leftrightarrow \vec{v} \cdot \vec{n} = δ \Leftrightarrow < \vec{v}, \vec{n} > = δ

d = | < \vec{q}, \vec{n} > - δ |

mit

\vec{q} = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix})

\vec{n} = (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})

δ = - 21

Ich denke aber, daß mit

\vec{n} \to \vec{n_{0}} = \frac{\vec{n}}{| \vec{n} |}

beabsichtigt ist ,also praktisch

d = | < \vec{q}, \vec{n_{0}} > - δ |

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18:11 Uhr, 31.03.2010

ok und wie komme ich mit meiner Formel auf

q ⋆

ahmedhos aktiv_icon

18:13 Uhr, 31.03.2010

Steht irgendeine eine Buchstabe bei der Formel von

q ⋆,

die du nicht verstehst?
Achsooo, du meinst Herleitung

. .

. Weiß ich leider nicht.

hoernchen aktiv_icon

18:26 Uhr, 31.03.2010

rechne mal bitte

d

nach mit meiner Formel, da komme ich auf ein anderes Ergebnis wie oben ?

ahmedhos aktiv_icon

18:32 Uhr, 31.03.2010

Ich hole mir stift und blatt papier und löse es mal vernünftig.

hoernchen aktiv_icon

18:56 Uhr, 31.03.2010

ok melde dich wenn du ein Ergebnis hast..oder hat sonst noch jemand ne Ahnung?

ahmedhos aktiv_icon

20:25 Uhr, 31.03.2010

Pass auf Bruder:

Gegeben ist ein Ortsvektor, der alle Punkte auf der Geraden beschreibt bzw. Parametresierung der Geraden

\vec{x} :

g : \vec{x} (λ) = (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix})

mit

\vec{n} = (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})

Und gegeben ist auch der Ortsvektor des Punktes

Q :

\vec{q} = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix})

Gesucht ist erstens der Abstand

d (Q, g)

.

Man kann durch Vektoraddition folgende Beziehung aufstellen:
I)

\vec{q} + k \cdot \vec{n_{0}} = \vec{q ⋆} = \vec{x} (λ_{q} ⋆)

k \in ℝ

Dabei ist

\vec{n_{0}}

der normierter Normalenvektor , also

\vec{n_{0}} = \frac{\vec{n}}{| \vec{n} |}

(Der Normalenvektor mit der Länge

1)

und

k \cdot \vec{n_{0}}

nichts anders bedeutet als, daß man

k

Einheiten vom Punkt

Q

aus senkrecht Richtung

g

gehen soll bis man

g

erreicht.

Die Orientierung des Normalenvektors spielt dabei keine Rolle, denn

k \in ℝ

.

Also ist

k

unserer gesuchter Abstand.

Zuerst bestimmt man die Normalenform der Geraden. Dafür multipliziert man die Parameterform mit

\vec{n} = (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})

(\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot \vec{x} (λ) = (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})

\Rightarrow N F_{g :} (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot \vec{x} (λ) = (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) = - 21 \Leftrightarrow (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot \vec{x} (λ) = - 21

Dividiere durch den Betrag des Normalenvektors:

\Rightarrow

II)

H N F_{g :} \frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot \vec{x} (λ) = - \frac{21}{\sqrt{1205}}

Setze I) in II):

\frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot \vec{x} (λ_{q} ⋆) = - \frac{21}{\sqrt{1205}}

\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot (\vec{q} + k \cdot \vec{n_{0}}) = - \frac{21}{\sqrt{1205}}

\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) + k \cdot \frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})) = - \frac{21}{\sqrt{1205}}

\Leftrightarrow (\begin{matrix} \frac{23}{\sqrt{1205}} \\ \frac{26}{\sqrt{1205}} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} \frac{23}{\sqrt{1205}} \\ \frac{26}{\sqrt{1205}} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{23}{\sqrt{1205}} \\ \frac{26}{\sqrt{1205}} \end{matrix}) = - \frac{21}{\sqrt{1205}}

\Leftrightarrow k = | \frac{- \frac{21}{\sqrt{1205}} + \frac{9 \cdot 23}{\sqrt{1205}} - \frac{6 \cdot 26}{\sqrt{1205}}}{{(\frac{23}{\sqrt{1205}})}^{2} + {(\frac{26}{\sqrt{1205}})}^{2}} |

\Leftrightarrow k = 0,864226803

Zweitens ist der Ortsvektor von

q ⋆

gefragt.

\Rightarrow \vec{q ⋆} = \vec{x} (λ_{q} ⋆) = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) + 0,864226803 \cdot \frac{1}{\sqrt{1205}} \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8,42738589 \\ 6,6473029 \end{matrix})

Der Vektor von

q ⋆

nach

q

wäre

\vec{q} - \vec{q ⋆} = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 8,42738589 \\ 6,6473029 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 0,57261411 \\ - 0,6473029 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist die gesuchte Länge

(= k) : \sqrt{{(- 0,57261411)}^{2} + {(- 0,6473029)}^{2}} = 0,864226801

Jetzt stimmt alles wieder.

hoernchen aktiv_icon

20:42 Uhr, 31.03.2010

danke für deine Mühe :-)

BjBot aktiv_icon

21:03 Uhr, 31.03.2010

Wenn du die Frage jetzt nicht abgehakt hättest hätte ich noch eine recht einfache Vorgehensweise gepostet aber da ja scheinbar nun alles klar ist spar ich mir das ;-)

hoernchen aktiv_icon

21:09 Uhr, 31.03.2010

ne ne wenn du auch noch eine Lösung hast bitte :-)

BjBot aktiv_icon

21:36 Uhr, 31.03.2010

Alles durchrechnen werde ich jetzt nicht aber einen Standardweg aus der Schule skizziere ich gerne mal eben:

1) Bilde die Gerade durch die beiden Punkte und formuliere allgemein einen Punkt dieser Geraden.
Beispiel: Für g:x=(1;2)+s(3;4) lautet ein allgemeiner Punkt G auf der Geraden G(1+3s|2+4s)

2) Gesucht ist der Punkt G, so dass die Vektoren QG und der Richtungsvektor u der Geraden senkrecht zueinander stehen - deshalb muss QG*u=0 gelten (Skalarprodukt gleich null), damit bekommst du den Geradenparameter s und damit dann auch G

3) Die Länge des Vektors QG ist dann der gesuchte Abstand.

Damit hat man quasi zwei Fliegen mit einer Klappe geschlagen und direkt beides erledigt.

hoernchen aktiv_icon

21:40 Uhr, 31.03.2010

ähm ok das verstehe ich nur wenn es mir mal jemand vorrechnet...

BjBot aktiv_icon

21:47 Uhr, 31.03.2010

Muss man immer am Wenigsten machen wenn jemand vorrechnet nech ;-)

Wie man eine Gerade aus zwei Punkten aufstellt wirst du sicher wissen.
Was man unter dem (Standard)skalarprodukt zweier Vektoren versteht kannst du ja mal googeln wenn du es nicht weisst.
Und die Länge eines Vektors (Entfernung zweier Punkte) sollte auch machbar sein.

Ich habe es extra so geschildert dass es selbsterklärend ist - sonderlich viel muss man da ja nicht machen.

Versuch es doch einfach mal.

JueKei aktiv_icon

09:51 Uhr, 01.04.2010

Etwas anders formuliert:
Wenn du den Abstand des Punktes

q

von

g

bestimmen sollst und den Lotfußpunkt

q ⋆,

solltest du zuerst

q ⋆

bestimmen und dann den Abstand

q q ⋆

q ⋆

kannst du einfach bestimmen, indem du eine Gerade

h

durch

q

erstellst die senkrecht zu

g

verläuft (also nimmst du den Normalenvektor von

g

als Richtungsvektor von

h)

.
Dann schneidest du

g

und

h

(also Gleichung von

g

und

h

gleichsetzen, fertig).
Der Schnittpunkt ist

q ⋆

.

Für den ersten Teil brauchst du nur noch

| q q ⋆ |

(also den Abstand).

Leider hat

q ⋆

ziemlich "schimmlige" Koordinaten (wie schon von Ahmed gezeigt).

ahmedhos aktiv_icon

12:53 Uhr, 01.04.2010

Ich setze, was Juekei beschrieben hat, in der Tat. Denn so ist es nämlich wesentlich einfacher und angenehmer!!

Pass auf:
Wir haben den Ortsvektor, der alle Punkte auf

g

in Abhängigkeit von

λ

ausspücken kann:

g : \vec{x_{g}} (λ) = \vec{a} + λ \cdot \vec{u_{g}} = (\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix})

mit

\vec{n_{g}} = (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})

Wir bilden

h,

die senkrecht auf

g

steht und benutzen den Aufpunkt "Stützvektor"

\vec{q} = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix})

h : \vec{x_{h}} (μ) = \vec{q} + μ \cdot \vec{n_{g}} = \vec{q} + μ \cdot \vec{u_{h}} = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix})

Die beiden Geraden "Parametresierungen der Geraden"

\vec{x_{g}} (λ)

und

\vec{x_{h}} (μ)

schneiden sich genau bei

\vec{q ⋆}

"siehe Skizze", Also es gilt als Bedingung:

\vec{x_{g}} (λ) = \vec{x_{h}} (μ) = \vec{q ⋆}

(\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) = \vec{q ⋆}

(\begin{matrix} - 19 + 26 \cdot λ \\ 16 - 23 \cdot λ \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 + 23 \cdot μ \\ 6 + 26 \cdot μ \end{matrix}) = \vec{q ⋆}

Diese

(\begin{matrix} - 19 + 26 \cdot λ \\ 16 - 23 \cdot λ \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 + 23 \cdot μ \\ 6 + 26 \cdot μ \end{matrix})

ist ein Gleichungssystem ("2 Gleichungen und 2 Unbekannte")

\Rightarrow

Realschule 9.Klasse:
I)

26 \cdot λ - 23 \cdot μ = 10

II)

- 23 \cdot λ - 26 \cdot μ = - 10

\Rightarrow

λ = 0,4066390041493776

μ = 0,024896265560165963

\Rightarrow

(\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) + 0,4066390041493776 \cdot (\begin{matrix} 26 \\ - 23 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) + 0,024896265560165963 \cdot (\begin{matrix} 23 \\ 26 \end{matrix}) = \vec{q ⋆}

(\begin{matrix} - 19 \\ 16 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0,4066390041493776 \cdot 26 \\ 0,4066390041493776 \cdot - 23 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0,024896265560165963 \cdot 23 \\ 0,024896265560165963 \cdot 26 \end{matrix}) = \vec{q ⋆}

(\begin{matrix} - 19 + 0,4066390041493776 \cdot 26 \\ 16 - 0,4066390041493776 \cdot 23 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 + 0,024896265560165963 \cdot 23 \\ 6 + 0,024896265560165963 \cdot 26 \end{matrix}) = \vec{q ⋆}

(\begin{matrix} - 8,42738589 \\ 6,6473029 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8.42738589 \\ 6,6473029 \end{matrix}) = \vec{q ⋆}

Die Länge dieses Vektors

\vec{q ⋆} - \vec{q}

bzw. des Gegenvektors

\vec{q} - \vec{q ⋆}

ist unsere gesuchte Länge.

\vec{q ⋆} - \vec{q} = (\begin{matrix} - 8,42738589 \\ 6,6473029 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 9 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8,42738589 + 9 \\ 6,6473029 - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,57261411 \\ 0,6473029 \end{matrix})

\vec{q} - \vec{q ⋆} = - (\vec{q ⋆} - \vec{q}) = (\begin{matrix} - 0,57261411 \\ - 0,6473029 \end{matrix})

Die Länge ("Betrag bilden"):

| \vec{q ⋆} - \vec{q} | = \sqrt{{(0,57261411)}^{2} + {(0,6473029)}^{2}} = 0,864226801

| \vec{q} - \vec{q ⋆} | = \sqrt{{(- 0,57261411)}^{2} + {(- 0,6473029)}^{2}} = 0,864226801

Mit der obigen ziemlich undurchschaubare Methode erreicht man auch dieselben Ergebnisse.

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