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Äquivalenzrelation, Verkettung von Relationen

Universität / Fachhochschule

Tags: Äquivalenzrelation, Beweis, Mengenlehre

Ninad aktiv_icon

21:32 Uhr, 02.05.2014

Hallo erstmal,

ich bräuchte unbedingt Hilfe bei folgender Aufgabe:

Seien

X, Y

Mengen und

R

eine Relation auf

X,

sowie

S

eine Relation auf

Y

.
Auf

X \times Y

sei die Relation RS:

(x_{1}, y_{1}) R S (x_{2}, y_{2}) \Leftrightarrow (x_{1} R y_{1}) \land (x_{2} S y_{2})

.

Zeigen Sie, dass RS eine Äquivalenzrelation auf

X \times Y

ist, falls

R

eine Äquivalenzrelation auf

X

und

S

eine Äquivalenzrelation auf

Y

ist.

Also zunächst verstehe ich diese Schreibweise

(x_{1}, y_{1}) R S (x_{2}, y_{2})

überhaupt nicht. Was gilt denn für die einzelnen Relationen

R

und

S

?

Könnte man die so aufschreiben:

R := {(x_{1}, x_{2}) \in X \times X}

S := {(y_{1}, y_{2}) \in Y \times Y}

???

Und wie soll man dazu eine Verkettung machen und dann auch noch zeigen, dass RS eine Äquivalenzrelation, wenn

R

Äquivalenzrelation auf

X

und

S

Äquivalenzrelation auf

Y

ist? Weiß echt gar nicht wie ich diese Aufgabe bearbeiten soll

: (

Hoffe, ihr könnt mir weiter helfen!

Viele Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

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DrBoogie aktiv_icon

22:22 Uhr, 02.05.2014

"Könnte man die so aufschreiben:"

Nein.

Eine Relation auf

X

ist eine Telmenge von

X \times X

.
Deshalb ist eine Relation auf

X \times Y

eine Teilmenge von

(X \times Y) \times (X \times Y)

.

Die Schreibweise

(x_{1}, y_{1}) R S (x_{2}, y_{2})

bedeutet, dass das Paar

((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}))

in der Teilmenge von

X \times Y

, welche Relation

R S

definiert, liegt.

Nochmals mit anderen Worten: eine Relation auf

X

kennzeichne Paare von Elementen aus

X

. Eine Relation auf

X \times Y

kennzeichnet deshalb Paare von Elementen aus

(X \times Y)

, also Paare von Paaren.

Ninad aktiv_icon

13:08 Uhr, 03.05.2014

Ok danke schon mal für die Erklärung. Wie kann ich denn nun zeigen, dass RS eine Äquivalenzrelation ist, wenn

R

Ä.relation auf

X

und

S

auf

Y

ist? Es muss ja scheinbar für beide Relationen

R

und

S

gelten, sie sind symmetrisch, transitiv und reflexiv. Aber wie zeige ich, dass dann

R S

auch Äquivalenzrelation ist?

Gruß.

DrBoogie aktiv_icon

14:38 Uhr, 03.05.2014

Es geht einfach direkt.
Schreiben zuerst auf, was wir haben (ich nummeriere die Eigenschaften, damit ich sie später bei Nummer erwähnen kann).
Also,

R

ist eine Äquivalenzrelation =>

x R x

(1)

x R y = > y R x

(2)

x R y

und

y R z

= > x R z

(3)
Und auch

S

ist eine Äquivalenzrelation =>

u S u

(4)

u S w = > w S u

(5)

u S w

und

w S v

= > u S v

(6)

So, und jetzt noch die Definition von

R S

(x, u) R S (y, w) < = > x R y

und

u S w

(7)

Und jetzt eigentliche Beweise:
i)

R S

reflexiv:
für ein beliebiges Paar

(x, u)

gilt (1) und (4), also

x R x

und

u S u

, weil

R

und

S

reflexiv sind, nach (7) bedeutet das, dass

(x, u) R S (x, u) = >

R S

ist auch reflexiv
ii)

R S

symmetrisch:
für zwei beliebige Paare

(x, u)

und

(y, w)

gelte

(x, u) R S (y, w)

= >

nach (7)
bedeutet das, dass

x R y

und

u S w

, nach der Anwendung von (2) und (5) haben

y R x

und

w S u

, was nach (7)

(y, w) R S (x, u)

bedeutet. Also,

R S

ist symmetrisch.

Und die Transitivität lasse ich Dir als Übung. :-)

Ninad aktiv_icon

20:22 Uhr, 05.05.2014

Vielen Dank! :-)

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