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Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie leitet man die Tangensfunktion ab?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
f(x)=tan(x)=sin(x)cos(x)

Mit Hilfe der Quotientenregel lässt sich die Ableitung bestimmen:

f'(x)=cos(x)cos(x)-sin(x)(-sin(x))cos(x)2

(1)   f'(x)=cos(x)2+sin(x)2cos(x)2

Mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras gilt: sin(x)2+cos(x)2=1.

Somit lautet die Ableitung der Tangensfunktion:

  f'(x)=1cos(x)2


Eine andere Darstellung der Ableitung der Tagensfunktion ensteht wenn man den Bruch (1) aufteilt:

f'(x)=cos(x)2cos(x)2+sin(x)2cos(x)2=1+tan(x)2