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Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Schüler, Gymnasium, 11. Klassenstufe

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Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

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f (x) = tan (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)}

Mit Hilfe der Quotientenregel lässt sich die Ableitung bestimmen:

f' (x) = \frac{cos (x) \cdot cos (x) - sin (x) \cdot (- sin (x))}{{cos (x)}^{2}}

(1)

f' (x) = \frac{{cos (x)}^{2} + {sin (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}}

Mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras gilt:

{sin (x)}^{2} + {cos (x)}^{2} = 1

.

Somit lautet die Ableitung der Tangensfunktion:

\Rightarrow f' (x) = \frac{1}{{cos (x)}^{2}}

Eine andere Darstellung der Ableitung der Tagensfunktion ensteht wenn man den Bruch

(1)

aufteilt:

f' (x) = \frac{{cos (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}} + \frac{{sin (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}} = 1 + {tan (x)}^{2}

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