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Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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Ableiten mit der h-Methode
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Bei Steckbriefaufgaben ist der Funktionsterm einer Funktion gesucht.

Steckbriefaufgaben könnten auch „Kurvendiskussion rückwärts“ genannt werden.

Im Prinzip sind Steckbriefaufgaben Rätsel bzw. Textaufgaben. Im Text sind verschiedene Hinweise auf die Funktion enthalten.

Vorgehensweise:

Du musst alle Hinweise zur gesuchten Funktion im Text finden.

Du musst alle Hinweise in Gleichungen umwandeln.

Häufige Formulierungen der Hinweise bei Steckbriefaufgaben:

Die Funktion

f . .

.

"hat im Punkt

(1 | 2)

\Rightarrow f (1) = 2

"geht durch den Ursprung"

\Rightarrow f (0) = 0

"schneidet die x-Achse bei

x =

\Rightarrow f (1) = 0

"berührt die x-Achse bei

y =

\Rightarrow f (1) = 0

und

f' (1) = 0

(nur bei ganz-rationalen Funktionen)

"schneidet die y-Achse bei

y =

\Rightarrow f (0) = 2

"hat an der Stelle

x = 1

ein lokales Extremum"

\Rightarrow f' (1) = 0

"hat bei

x = 3

die Steigung

m =

\Rightarrow f' (3) = 2

"ist bei

x = 3

parallel zur Geraden

y = 2 x +

\Rightarrow f' (3) = 2

"hat bei

x = - 1

einen Wendepunkt"

\Rightarrow

f''(–1)

= 0

Teilweise werden auch zwei Hinweise in einer Angabe gegeben:

"hat im Punkt

P (1 | 2)

eine waagerechte Tangente"

\Rightarrow f (1) = 2

und

f' (1) = 0

Beispiel: Steckbriefaufgabe einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die bei

x = 0

eine Nullstelle, in

P (1 | 2)

eine waagerechte Tangente und bei

x = 1

einen Wendepunkt hat.

Vorgehensweise:

Um herauszufinden, wie viele Hinweise bzw. Gleichungen gesucht sind, ist der Grad des gesuchten Funktionsterms gegeben.
Somit handelt es sich um eine Funktion der Form

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Da es vier Parameter

(a, b, c

und

d)

zu bestimmen gilt, werden vier Gleichungen benötigt.

Die Ableitungen einer Funktion dieser Form lauten immer

f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

f'' (x) = 6 a x + 2 b

Hinweise, die in der Angabe versteckt sind:

"bei

x = 0

eine Nullstelle"

\Rightarrow f (0) = 0

"in

P (1 | 2)

eine waagerechte Tangente"

\Rightarrow f (1) = 2

und

f' (1) = 0

"bei

x = 1

einen Wendepunkt hat"

\Rightarrow f'' (1) = 0

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)_bild1

Somit sind die vier Gleichungen gefunden und die 4 Parameter

(a, b, c

und

d)

können bestimmt werden.

f (0) = a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d = 0

\Rightarrow d = 0

f (1) = a \cdot 1^{3} + b \cdot 1^{2} + c \cdot 1 + d = 2

\Rightarrow a + b + c + d = 2

f' (1) = 3 a \cdot 1^{2} + 2 b \cdot 1 + c = 0

\Rightarrow 3 a + 2 b + c = 0

f'' (1) = 6 a \cdot 1 + 2 b = 0

\Rightarrow 6 a + 2 b = 0

Nun gilt es das lineare Gleichungssystem aufzulösen. Meist bietet sich das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren an. Der Übersichtlichkeit halber kann man die Gleichungen durchnummerieren.

(1)

d = 0

(2)

a + b + c + d = 2

(3)

3 a + 2 b + c = 0

(4)

6 a + 2 b = 0

Man beginnt immer mit den kurzen Gleichungen.

Wegen

(1)

kann man

(2)

vereinfachen:

(2)' a + b + c = 2,

d = 0

.

Man kann

(4)

nach

b

auflösen:

(4)' b = - 3 a

(4)' \in (2)'

und

(3)

eingesetzt ergibt:

(2)'' a - 3 a + c = 2 \Rightarrow (2)''' - 2 a + c = 2

(3)' 3 a - 6 a + c = 0 \Rightarrow (3)'' - 3 a + c = 0

Nun kann man eine der beiden Gleichungen nach

c

auflösen und

c

in die andere einsetzen:

(3)''

nach

c

aufgelöst ergibt:

(3)''' c = 3 a

Nun

c \in (2)'''

einsetzen:

- 2 a + 3 a = 2 \Rightarrow a = 2

Damit folgt aus

(3)''' : c = 6

Aus

(4)'

folgt:

b = - 6

Damit lässt sich die Funktionsgleichung der gesuchten Funktion angeben:

f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)_bild2

Vorgehensweise bei ganz-rationalen Funktionen 4. Grades:

Die Vorgehensweise bei ganz-rationalen Funktionen 4. Grades entspricht exakt der Vorgehensweise für Funktionen 3. Grades.

Nur die allgemeine Form der Funktion und damit die Anzahl der Parameter ändert sich.

f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

Da es fünf Parameter

(a, b, c, d

und

e)

zu bestimmen gilt, werden fünf Gleichungen benötigt.

Die Ableitungen einer Funktion dieser Form lauten immer

f' (x) = 4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d

f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c

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