Ableitung einer Funktion an einer Stelle

Da die meisten Funktionen krummlinig sind, ist es schwierig die Steigung des Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt zu bestimmen.

Daher legt man hilfsweise eine Tangente [mehr dazu] in dem Punkt an den Funktionsgraphen an.

Beispiel:



Die Steigung der Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ an der Stelle ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ ist 2.

Das kann entweder mit dem Differentialquotient oder (falls bekannt) mit der Ableitungsregel bestimmt werden.

Lösung mit Differentialquotient:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left(1\right)=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 1}{lim}\frac{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(1\right)}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 1}{lim}\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 1}{lim}\frac{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\cdot (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 1}{lim}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1=2}$

Lösung mit Ableitungsregel:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)=2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{'}\left(1\right)=2\cdot 1=2}$