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Ableitung an einer Stelle

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) an der Stelle x0 ?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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Verfahren

1) Differenzenquotient bilden:   f(x1)-f(x0)x1-x0

  x1 und x0 werden in die Funktionsgleichung eingesetzt.

2) Terme im Zähler umformen so, dass der Term (x1-x0) im Nenner gekürzt werden kann.

3) Differentialquotienten bilden:   limx1x0f(x1)-f(x0)x1-x0

  x1 wird ersetzt durch x0
1) Beispiel

f(x)=x2


Zu 1): (Differenzenquotienten bilden)

f(x1)-f(x0)x1-x0=x12-x02x1-x0


Zu 2): (Terme umformen)

3. Binomische Formel anwenden:

f(x1)-f(x0)x1-x0=x12-x02x1-x0

                  =(x1+x0)(x1-x0)x1-x0

                  =x1+x0


Zu 3): (Differentialquotienten bilden)

f'(x0)=limx1x0f(x1)-f(x0)x1-x0=limx1x0x1+x0=2x0
2) Beispiel

f(x)=x3-4x


Zu 1): (Differenzenquotienten bilden)

f(x1)-f(x0)x1-x0=(x13-4x1)-(x03-4x0)x1-x0


Zu 2): (Terme umformen)

Terme die "gleich gebaut" sind gruppieren:

f(x1)-f(x0)x1-x0=(x13-4x1)-(x03-4x0)x1-x0

                  =(x13-x03)-4(x1-x0)x1-x0

Binomischen Lehrsatz (an-bn )anwenden:

                  =(x1-x0)(x12+x1x0+x02)-4(x1-x0)x1-x0

                  =(x1-x0)[x12+x1x0+x02-4]x1-x0

                  =x12+x1x0+x02-4



Zu 3): (Differentialquotienten bilden)

f'(x0)=limx1x0f(x1)-f(x0)x1-x0=limx1x0x12+x1x0+x02-4=x02+x02+x02-4=3x02-4
3) Beispiel

f(x)=1x


Zu 1): (Differenzenquotienten bilden)

f(x1)-f(x0)x1-x0=1x1-1x0x1-x0


Zu 2): (Terme umformen)

Gemeinsamen Nenner bilden und Brüche zusammenführen:

f(x1)-f(x0)x1-x0=1x1-1x0x1-x0

                  =1x1x0x0-1x0x1x1x1-x0

                  =x0-x1x1x0x1-x0

                  =-(x1-x0)x1x0(x1-x0)

                  =-1x1x0



Zu 3): (Differentialquotienten bilden)

f'(x0)=limx1x0f(x1)-f(x0)x1-x0=limx1x0-1x1x0=-1x02
4) Beispiel

f(x)=x2-2xx+1


Zu 1): (Differenzenquotienten bilden)

f(x1)-f(x0)x1-x0=(x12-2x1x1+1)-(x02-2x0x0+1)x1-x0


Zu 2): (Terme umformen)

Gemeinsamen Nenner bilden und Brüche zusammenführen:

f(x1)-f(x0)x1-x0=(x12-2x1x1+1)-(x02-2x0x0+1)x1-x0

                  =x12-2x1x1+1x0+1x0+1-x02-2x0x0+1x1+1x1+1x1-x0

                  =(x12-2x1)(x0+1)-(x02-2x0)(x1+1)(x1+1)(x0+1)x1-x0

                  =(x12x0+x12-2x1x0-2x1)-(x02x1+x02-2x1x0-2x0)(x1+1)(x0+1)(x1-x0)

Terme die "gleich gebaut" sind gruppieren:

                  =(x12x0-x02x1+x12-x02)-2(x1-x0)(x1+1)(x0+1)(x1-x0)

                  =x1x0(x1-x0)+(x1-x0)(x1+x0)-2(x1-x0)(x1+1)(x0+1)(x1-x0)

                  =(x1-x0)[x1x0+(x1+x0)-2](x1+1)(x0+1)(x1-x0)

                  =x1x0+x1+x0-2(x1+1)(x0+1)



Zu 3): (Differentialquotienten bilden)

f'(x0)=limx1x0f(x1)-f(x0)x1-x0=limx1x0x1x0+x1+x0-2(x1+1)(x0+1)=x02+2x0-2(x0+1)2
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