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Ableiten von Exponentialfunktionen

Schüler, Gymnasium, 11. Klassenstufe

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Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

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?

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e^{x}

Die Ableitung der Exponentialfunktion

e^{x}

ist gleich die Funktion selbst.

f (x) = e^{x} \Rightarrow f' (x) = e^{x}

Es ist die einzige Funktion die diese Eigenschaft besitzt.

Die Exponentialfunktion

b \cdot e^{a x}

Man leitet allgemein nach der Regel für die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion und der Kettenregel ab.

f (x) = b \cdot e^{a x}

f' (x) = b \cdot e^{a x} \cdot a = a b \cdot e^{a x}

Beispiel

f (x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2} x}

f' (x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2} = e^{\frac{1}{2} x}

Verkettung einer Funktion mit der Exponentialfunktion

f (x) = e^{f (x)}

Nach der Kettenregel ist die Ableitung gleich:

f' (x) = e^{f (x)} \cdot f' (x)

Beispiel:

f (x) = e^{sin x} = e^{sin x} \cdot cos x

Exponentialfunktion mit beliebiger Basis a

f (x) = a^{b x}

f' (x) = b \cdot ln a \cdot a^{b x}

Begründung:

f (x) = a^{b x} = e^{b x \cdot ln a}

Nach der Kettenregel gilt dann:

f' (x) = e^{b x \cdot ln a} \cdot b \cdot ln a

Beispiel

f (x) = 2^{x} \Rightarrow f' (x) = ln 2 \cdot 2^{x}

g (x) = {(\frac{1}{2})}^{2 x} \Rightarrow g' (x) = {(\frac{1}{2})}^{2 x} \cdot 2 \cdot ln (\frac{1}{2})

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