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Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion (e-Funktion) mit

f (x) = e^{x}

ist relativ einfach:

\int e^{x} d x = e^{x} + C

wobei

C \in ℝ

Ist die Exponentialfunktion jedoch in einer etwas modifizierten Form, wird es schon komplizierter.

1. Variante (Linearer Term im Argument der Exponentialfunktion)

Ist die Funktion

f

mit

f (x) = e^{a \cdot x + b}

gegeben, so lautet die Menge der Stammfunktionen:

\int e^{a \cdot x + b} d x = \frac{1}{a} \cdot e^{a \cdot x + b} + C

2. Variante (Exponentialfunktion mit beliebiger Basis)

Ist die Funktion

f

mit

f (x) = a^{x}

gegeben, so lautet die Menge der Stammfunktionen:

\int a^{x} d x = \frac{1}{ln a} \cdot a^{x} + C

Die Stammfunktionen zu anders modifizierten Exponentialfunktionen lassen sich meist über Integration mit Substitution oder Partielle Integration

[

LINK] ermitteln.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = 5 \cdot e^{x}

.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion

f

\int 5 \cdot e^{x} d x

Nach der Faktorregel, kann man 5 vor das Integral ziehen:

= 5 \int e^{x} d x

= 5 e^{x} + C

wobei

C \in ℝ

Beispiel

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = e^{2 x - 5}

.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion

f

\int e^{2 x - 5} d x

= \frac{1}{2} e^{2 x - 5} + C

wobei

C \in ℝ

Begründung über die Kettenregel:

Leitet man die Funktion

f (x) = e^{2 x - 5}

ab, so ergibt dies:

f' (x) = e^{2 x - 5} \cdot 2,

2 x - 5

noch nachdifferenziert werden muss.
Um diesen Faktor zu kompensieren, wird vor die Stammfunktion

\frac{1}{2}

als Faktor geschrieben.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = 2^{x}

.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion

f

\int 2^{x} d x

= \frac{1}{ln (2)} 2^{x} + C

wobei

C \in ℝ

Begründung über die Kettelregel:

Möchte man die Funktion

f (x) = 2^{x}

ableiten, so muss dieser Funktionsterm zunächst umgeformt werden.

f (x) = 2^{x} = e^{ln (2^{x})}

Erinnere Dich:

e^{x}

ist die Umkehrfunktion zu

ln x

. Daher ergibt

e^{ln x} = x

.
Damit gilt auch

e^{ln (2^{x})} = 2^{x}

.

Nun benötigt man noch die 3. Logarithmenrechenregel:

ln (2^{x}) = x \cdot ln 2

Nun lässt sich die Ableitung schreiben als:

f (x) = 2^{x} = e^{ln (2^{x})}

f (x) = e^{x \cdot ln 2}

Leitet man diese Funktion ab, so ergibt dies:

f' (x) = e^{x \cdot ln 2} \cdot ln 2,

da mit

ln 2

nachdifferenziert werden muss.

Also lautet die Ableitung von

f (x) = 2^{x} :

f' (x) = 2^{x} \cdot ln 2

Um den Faktor

ln 2

zu kompensieren, wird vor der Stammfunktion

\frac{1}{ln 2}

als Faktor geschrieben.

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