Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral benutzt man, um Flächenstücke zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zu berechnen (Siehe Flächenberechnung durch Integrieren [mehr dazu]).



Das Integral ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$ wird auch bestimmtes Integral genannt.


Wie berechnet man das bestimmte Integral?

1) Bestimme eine Stammfunktion [mehr dazu] von ${\displaystyle f\left(x\right)}$.
2) In die Formel einsetzen und berechnen.

Vorsicht: Nicht immer stimmt das bestimmte Integral mit dem Inhalt eines Flächenstücks überein.

Mehr dazu findest unter Flächenberechung.


Beispiele

${\displaystyle {\int }_1^2{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_1^2=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}}$

${\displaystyle {\int }_1^2(2x^3+1)dx={[2\frac{x^4}{4}+x]}_1^2=2\frac{2^4}{4}+2-(2\frac{1^4}{4}+1)=8+2-\frac{1}{2}-1=\frac{17}{2}}$

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cos\left(x\right)dx={\left[sin\left(x\right)\right]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=sin\left(\frac{\pi }{2}\right)-sin(-\frac{\pi }{2})=1-(-1)=2}$