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Flächenberechnung durch Integrieren

Geometrische Interpretation des bestimmten Integrals:

Liegt der Graph der Funktion f zwischen a und b oberhalb der x-Achse, dann ist die Zahl   A=abf(x)dx   die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche zwischen dem Graphen, der x-Achse und den beiden Senkrechten an den Stellen a und b.


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Liegt das der Graph der Funktion zwischen a und b hingegen unterhalb der x-Achse, so ist der Wert des bestimmten Integrals negativ.

In diesem Fall gilt:

A=-abf(x)dx   die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche zwischen dem Graphen, der x-Achse und den beiden Senkrechten an den Stellen a und b.


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Merke also:

Hat die Funktion im Intervall, in dem die Fläche bestimmt werden soll, Nullstellen [mehr dazu], so muss das Integral zur Flächenberechnung bei jeder Nullstelle aufgespalten werden, bei der die Funktion die x-Achse schneidet.

A=|acf(x)dx|+|cbf(x)dx|

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Beispiel:

f(x)=x3

Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse im Ursprung.

Die Fläche A zwischen dem Graphen der Funktion f(x)=x3 und der x-Achse von -1 bis 2 ist gegeben durch:

A=|-10x3dx|+|02x3dx|

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Kategorie: Bestimmtes Integral



 




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