Flächenberechnung durch Integrieren

Geometrische Interpretation des bestimmten Integrals:

Liegt der Graph der Funktion ${\displaystyle f}$ zwischen a und ${\displaystyle b}$ oberhalb der x-Achse, dann ist die Zahl ${\displaystyle A={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx }$ die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche zwischen dem Graphen, der x-Achse und den beiden Senkrechten an den Stellen a und ${\displaystyle b.}$






Liegt das der Graph der Funktion zwischen a und ${\displaystyle b}$ hingegen unterhalb der x-Achse, so ist der Wert des bestimmten Integrals negativ.

In diesem Fall gilt:

${\displaystyle A=-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx }$ die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche zwischen dem Graphen, der x-Achse und den beiden Senkrechten an den Stellen a und ${\displaystyle b.}$






Merke also:

Hat die Funktion im Intervall, in dem die Fläche bestimmt werden soll, Nullstellen [mehr dazu], so muss das Integral zur Flächenberechnung bei jeder Nullstelle aufgespalten werden, bei der die Funktion die x-Achse schneidet.

${\displaystyle A=\left|{\int }_a^{c}f\left(x\right)dx\right|+\left|{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx\right|}$




Beispiel:

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3}$

Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse im Ursprung.

Die Fläche A zwischen dem Graphen der Funktion ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3}$ und der x-Achse von ${\displaystyle -1}$ bis 2 ist gegeben durch:

${\displaystyle A=\left|{\int }_{-1}^0{x}^{3}dx\right|+\left|{\int }_0^2{x}^{3}dx\right|}$