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Ableiten von Logarithmusfunktionen

Schüler, Gymnasium, 11. Klassenstufe

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Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

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ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
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f' (x)

f (x)

x_{0}

?

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Die Logarithmusfunktion

ln x

Die Ableitung der

ln

-Funktion ist gleich

\frac{1}{x}

.

f (x) = ln x \Rightarrow f' (x) = \frac{1}{x}

Die Ableitung der

ln

-Funktion wird über die Ableitung ihrer Umkehrfunktion

e^{x}

bestimmt.

Mehr über die Umkehrfunktion und deren Ableitung kannst du hier nachlesen:
Ableitung der Umkehrfunktion einer Funktion

Verkettung einer Funktion mit der Logarithmusfunktion:

f (x) = a \cdot ln (g (x))

Man leitet allgemein nach der Regel für die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion und der Kettenregel ab.

f (x) = a \cdot ln (g (x))

f' (x) = a \cdot \frac{1}{g (x)} \cdot g' (x) = a \cdot \frac{g' (x)}{g (x)}

Beispiel:

f (x) = 2 \cdot ln (x^{2} + 1)

hier ist

g (x) = x^{2} + 1

f' (x) = 2 \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}

Logarithmusfunktion mit beliebiger Basis

b

f (x) = {log}_{b} x \Rightarrow f' (x) = \frac{1}{x \cdot ln b}

Beispiel

f (x) = {log}_{2} x

f' (x) = \frac{1}{x \cdot ln 2}

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