Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist differenzierbar an der Stelle ${\displaystyle x_0,}$ wenn man eine Tangente [mehr dazu] an den Graphen der Funktion legen kann.

Die Steigung der Tangente [mehr dazu] an der Stelle ${\displaystyle x_0}$ wird durch den Grenzwert
${\displaystyle tan\alpha =\underset{x_1\to x_0}{lim}\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}}$ beschrieben.

Als Abkürzung schreibt man
${\displaystyle f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x_1\to x_0}{lim}\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}}$

Diesen Grenzwert (Differentialquotient) nennt man Ableitung [mehr dazu] der Funktion ${\displaystyle f}$ an einer Stelle ${\displaystyle x_0}$.

Zur Überprüfung ob eine Funktion ${\displaystyle f\left(x\right)}$ an der Stelle ${\displaystyle x_0}$ differenzierbar ist, ist es häufig geeignet folgende Regeln zu prüfen:

${\displaystyle f\left(x\right)}$ ist differenzierbar in ${\displaystyle x_0}$ wenn gilt:

a) ${\displaystyle f}$ ist stetig in ${\displaystyle x_0}$
b) ${\displaystyle \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\text{'}=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\text{'}}$