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Tangente zu Funktionsgraphen bestimmen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man den Term einer Tangente, die den Funktionsgraphen in einem vorgegebenen Punkt berührt?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Eine Gerade die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt heißt Tangente.

Die Funktionsgleichung einer Geraden lautet:

y=mx+t

m ist die Steigung der Geraden.

Für eine Tangete, die den Graphen einer Funktion f im Punkt (x0|y0) berührt, gilt:

Die Steigung der Tangete ist gleich der Ableitung der Funktion an der Stelle x0

Mathematisch ausgedrückt:

1)   m=f'(x0)


Da die Tangente durch den Punkt (x0|f(x0)) geht, erfüllt der Punkt die Funktionsgleichung.
Somit gilt (Punktkoordinaten werden in die Funktionsgleichung eingesetzt):

2)   y0=mx0+t

Mit diesen 2 Eigenschaften kann jede Tangente bestimmt werden.

Der Punkt auf dem Funktionsgraphen ist gegeben.

f(x)=x2

P(1,1)

Die Tangente soll bestimmt werden die den Funktionsgraphen von f(x) im Punkt P berührt.

Lösung:

1) Steigung m bestimmen:

m=f'(x0)

m=f'(1)

f'(x)=2x

  m=f'(1)=21=2


2) Punktkoordinaten in die Geradengleichung einsetzen:

y0=mx0+t

1=m1+t

Für m kann das Ergebnis aus 1) eingesetzt werden:

1=21+t

  t=-1

Somit lautet die Gleichung der Tangente:   y=2x-1

Die Steigung der Tangente ist gegeben.

f(x)=x2

m=1

Die Tangente soll bestimmt werden die den Funktionsgraphen von f(x) mit einer Steigung m=1 in einem Punkt (der nicht bekannt ist) berührt.


Lösung


1) Berührpunkt (x0|y0) bestimmen:

f'(x)=2x

m=f'(x0)

1=f'(x0)

1=2x0

  x0=12

  y0=f(x0)=f(12)=(12)2=14

Der Berührpunkt hat die Koordinaten (12|14)


2) Punktkoordinaten in die Geradengleichung einsetzen:

y0=mx0+t

14=m12+t

m=1 ist aus der Angabe bekannt:

14=112+t

  t=-14

Somit lautet die Gleichung der Tangente:   y=x-14

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