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Differenzialquotient berechnen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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f' (x)

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f (x)

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Mit dem Differentialquotienten bestimmt man die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten x-Wert. Man sagt auch: Ableitung an der Stelle

x_{0}

.

Vorgehensweise

1) Differenzenquotient bilden:

[

Differenzenquotient berechnen]

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

2) Grenzwert des Differenzenquotienten bilden:

lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient.

Häufig hilfreich:

Vor der Grenzwertbildung soll versucht werden den Zähler des Differenzenquotienten so umzuformen, dass der Term

(x_{1} - x_{0})

im Nenner gekürzt werden kann.

Beispiel:

f (x) = x^{2}

Die Ableitung der Funktion an der Stelle

x_{0} = 1

soll mit dem Differenzialquotienten bestimmt werden.

Lösung:

1) Differenzenquotient bilden:

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} = \frac{x_{1}^{2} - 1^{2}}{x_{1} - 1}

Umformung des Zählers: 3. Binomische Formel anweden.

\frac{x_{1}^{2} - 1^{2}}{x_{1} - 1} = \frac{(x_{1} + 1) \cdot (x_{1} - 1)}{x_{1} - 1} = x_{1} + 1

2) Grenzwert des Differenzenquotient bilden:

lim_{x_{1} \to 1} x_{1} + 1 = 2

Dabei wurde für

x_{1}

der Wert 1 eingesetzt.

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