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Differenzialquotient berechnen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie wird der Differenzialquotient berechnet?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Mit dem Differentialquotienten bestimmt man die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten x-Wert. Man sagt auch: Ableitung an der Stelle x0.

Vorgehensweise

1) Differenzenquotient bilden:
[Differenzenquotient berechnen]

f(x1)-f(x0)x1-x0


2) Grenzwert des Differenzenquotienten bilden:

limx1x0f(x1)-f(x0)x1-x0

Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient.

Häufig hilfreich:

Vor der Grenzwertbildung soll versucht werden den Zähler des Differenzenquotienten so umzuformen, dass der Term (x1-x0) im Nenner gekürzt werden kann.

Beispiel:

f(x)=x2

Die Ableitung der Funktion an der Stelle x0=1 soll mit dem Differenzialquotienten bestimmt werden.


Lösung:

1) Differenzenquotient bilden:

f(x1)-f(x0)x1-x0=x12-12x1-1


Umformung des Zählers: 3. Binomische Formel anweden.

x12-12x1-1=(x1+1)(x1-1)x1-1=x1+1


2) Grenzwert des Differenzenquotient bilden:

limx11x1+1=2

Dabei wurde für x1 der Wert 1 eingesetzt.

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