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Herleitung der Kreiszahl Pi

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie kann man die Kreiszahl $π$ herleiten?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)

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Kreiszahl Pi

Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

Wie kann man mit einfachen Mitteln die Zahl $π$ bestimmen?

Für alle Kreis gilt: Der Umfang

U

ist das

π -

fache des Durchmessers

d

U = π \cdot d

Das heißt, hat man einmal den Umfang

U

und den Durchmesser eines Kreises gemessen
so kann man den Wert von

π

bestimmen durch:

π = \frac{U}{d}

Jedoch ist es sehr schwierig den Umfang eines Kreises zu messen.
Einen genaueren Wert von

π

erhält man durch mathematische Näherungsverfahren die dann in der Regel durch Computerprogramme durch geführt werden.

Gibt es ein Algorithmus zur Berechnung von $π$ ?

Es gibt jede Menge Algorithmen zur Berechnung von

π

.

Empfehlenswert ist das Buch "Pi - Algorithmen, Computer, Arithmetik" (Springer Verlag Heidelberg

1998;

ISBN

3 - 540 - 63419 - 3;

Autoren: J. Arndt, Ch. Haenel. Dort findet man unter anderem auch Quellprogramme zu den wichtigsten

π

-Algorithmen.

Mehr über die Zahl

π

findet man

z . B

unter
http//de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl
http//pi314.at/
http//www.mathsoft.com/asolve/constant/pi/pi.html
http//www.cecm.sfu.ca/organics/papers/borwein/paper/html/paper.html

Beispiel eines Näherungsverfahren

Man wählt ein Kreis aus mit Radius

r = 0,5

Der Umfang des Kreises ist dann gleich

U = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 0,5 = π

Ziel ist es also den Umfang des Kreises näherungsweise zu bestimmen, dann kommt man an die Zahl

π

ran.

Man zeichnet nun ein regelmäßiges Dreieck in den Kreis ein.

bild_1

Verdoppelt man anschließend die Anzahl der Eckpunkte, erhält man ein 6-eck usw...
Aus einem n-Eck wird so ein 2n-Eck. Mit wachsender Eckenanzahl nähert sich das n-Eck immer mehr der Kreislinie an und somit an die Zahl

π

n = 6

n = 12

Ist die Länge der n-Eckseite bekannt, so kann man aus ihr die Länge der 2n-Eckseite ausrechnen.

Hier ein Ausschnitt eines 2n-Eck.

bild_4

Dabei ist:

M

der Mittelpunkt des Kreises

A, B, C

Punkte des 2n-Eck

s_{2 n}

die Seite des 2n-Ecks

s_{n}

die Seite des n-Ecks

Dann gilt:

M A = 0,5

A C = s_{n}

A B = B C = s_{2 n}

A F = F C = 0,5 \cdot s_{n}

Im Dreieck

A B F

gilt wegen Pythagoras die Beziehung

(1)

A B^{2} = B F^{2} + A F^{2} \Leftrightarrow s_{2 n}^{2} = B F^{2} + {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}

Im Dreieck

M A F

gilt wegen Pythagoras die Beziehung

M F^{2} = M A^{2} - A F^{2} \Leftrightarrow M F^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}

\Rightarrow M F = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}}

B F

lässt sich dann schreiben als:

B F = M B - M F = \frac{1}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}}

Setzt man nun

B F

in die Beziehung

(1)

ein, so gilt folgendes:

s_{2 n}^{2} = {(\frac{1}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}})}^{2} + {(\frac{s_{n}}{2})}^{2}

Durch Auflösen der Klammer und Umformen der Terme, gilt dann für

s_{2 n} :

s_{2 n} = \sqrt{(\frac{1}{2} \cdot (1 - \sqrt{1 - s_{n}^{2}}))}

Somit gilt für den Umfang des 2n-Eckes:

U = n \cdot s_{2 n}

Beginnt man nun mit einem 6-Eck kann man sich immer weiter

π

annähern. Da die 6 Dreiecke aus denen das 6-Eck besteht gleichschenklige Dreiecke sind, kommt man leicht auf den Start-Wert:

s_{6} = 0,5

Die Tabelle zeigt wie man sich

π

nähern kann (dabei wurde die Seitenlänge des 2n-Ecks mit der Seitenlänge des Vorgängers bestimmt)

559099

524482

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