Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Berechnung des Kurvenintegrals

Berechnung des Kurvenintegrals

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionen

Integration

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Integration

Mikhail aktiv_icon

12:43 Uhr, 27.09.2013

Guten Morgen allerseits.

Ich muss folgende Aufgabe lösen. Leider kann ich sie nur zum Teil lösen. Zur vollständigen Lösung fehlt mir hier das Verständnis. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.

Ich sag zuerst was ich weiss.

Folgende Aufgabe:

\frac{- y^{2}}{{(1 - x)}^{3}} d x - \frac{y}{{(1 - x)}^{2}} d y

Ich fange mit

b

. an: Zuerst muss ich überprüfen ob es eine Stammfunktion gibt und das Wegintegral wegunabhänig ist. Dazu leite ich

\frac{- y}{{(1 - x)}^{3}}

nach

x

ab und

- \frac{y}{{(1 - x)}^{2}}

nach

y

. Beide Ableitungen ergeben

- 2 \frac{y}{{(1 - x)}^{3}}

. Sind gleich und somit gilt die Wegunabhänigkeit und eine Stammfunktion.

Nun gilt es die Stammfunktion zu berechnen. Dazu muss ich beide Teile integrieren und durch

A (x)

und

B (y)

ergänzen. Die Integration beider Teile

(P, Q)

ergibt

- \frac{y^{2}}{2 \cdot {(1 - x)}^{2}} + C

. Somit fehlen

A (x)

und

B (y)

bzw.

A (x) = B (y) = 0

.

Soweit habe ich hoffentlich alles richtig. Nun die Sachen die ich nicht verstehe:
Wie werte ich jetzt die Stammfunktion aus? Setze ich die Werte

(2,2)

und

(2,0)

ein? Wenn ja, welche? Es gibt jeweils 2 Paare.

Und die Aufgabe

a

. verstehe ich ebenfalls nicht. Da muss man die Werte ebenfalls einsetzen. Ich verstehe jedoch nicht welche wohin gehören.

Bin für jeden Tipp dankbar und wünsche alles Gute!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DerDepp aktiv_icon

14:26 Uhr, 27.09.2013

Hossa ;-)

In deinem Teil b) finde ich keinen Fehler. Du zeigst, dass das Feld keine Wirbel hat, daher kann es als Gradient einer Stammfunktion geschrieben werden. Diese berechnest du dann korrekt.

Für Teil a) brauchst du eine "Kurve", auf der du durch das Vektorfeld schreitest. Es soll laut Aufgabenstellung der direkte Weg genommen werden, also eine Gerade:

\vec{r} (t) = (\binom{x (t)}{y (t)}) = (\binom{2}{0}) + t \cdot (\binom{0}{2}); t \in [0; 1]

Daraus liest du sofort ab:

x (t) = 2; d x = 0; y (t) = 2 t; d y = 2 d t

Damit erhälst du als Integral:

I = \int_{(2, 0)}^{(2, 2)} (- \frac{y^{2}}{(1 - x)^{3}} d x - \frac{y}{(1 - x)^{2}} d y) = \int_{0}^{1} (- \frac{2 t}{(1 - 2)^{2}} \cdot 2 d t) = - \int_{0}^{1} 4 t d t = - {[2 t^{2}]}_{0}^{1} = - 2

Ok?

Mikhail aktiv_icon

14:37 Uhr, 27.09.2013

Hallo und danke für die Antwort.

Ich habs nicht ganz verstanden.
Zu

b

. : Ich habe die Stammmfunktion ausgerechnet aber nun müsste ich noch den Wert berechen, also einsetzen und ausrechnen. Mir ist nicht ganz klar wo ich was einsetze.

Zu

a

. : Hier erklärst du den Sachverhalt mit der Methode der Parametrisierung, oder?
Kann man es auch anders, einfacher erklären?

Ich muss dazu sagen dass ich das Prinzip der Auswertung nicht begriffen habe.

Gruß

Mikh.

DerDepp aktiv_icon

15:05 Uhr, 27.09.2013

In deine unter b) richtig bestimmte Stammfunktion brauchst du zur Berechnung nur den End- und Anfangspunkt einzusetzen. Du hast ja gezeigt, dass das Ergebnis unabhängig vom gewählten Weg zwischen den Punten ist:

I = \int_{(2, 0)}^{(2, 2)} (- \frac{y^{2}}{(1 - x)^{3}} d x - \frac{y}{(1 - x)^{2}} d y) = {[- \frac{y^{2}}{2 (1 - x)^{2}}]}_{(2, 0)}^{(2, 2)} = \underset{(2, 2) e i n g e s e t z t}{\underset{⎵}{- \frac{2^{2}}{2 \cdot (1 - 2)^{2}}}} + \underset{(2, 0) e i n g e s e t z t}{\underset{⎵}{\frac{0^{2}}{2 \cdot (1 - 2)^{2}}}} = - 2

Wenn du keine Stammfunktion bilden kannst oder die Berechnung zu aufwändig ist, kannst du zur Berechung des Integrals den gewählten Weg entlanglaufen. Das solltest du bei a) so machen. Durch das Schreiten entlang eines vorgegebenen Wertes sind auch alle Punkte (x,y) fest vorgegeben. Diesen Umstand nutzt du bei der Berechnung aus. Damit dies möglich ist, musst du den Weg parametrisieren. Das habe ich vorgeführt.

Alternativ dazu kannst du auch mit der Ableitung des Weges arbeiten:

I = \int_{(2, 0)}^{(2, 2)} (- \frac{y^{2}}{(1 - x)^{3}} d x - \frac{y}{(1 - x)^{2}} d y) = \int_{{\vec{r}}_{0}}^{{\vec{r}}_{1}} f (\vec{r}) d \vec{r}

Du kannst dein Integral in die rechts geschriebene Form bringen, wobei hier

\vec{r} = (x, y)

und

d \vec{r} = (d x, d y)

ist. Wenn du eine Parametrisierung

\vec{r} = \vec{r} (t)

des Weges durch einen Parameter t gefunden hast, kannst du das Integral substituieren:

\int_{{\vec{r}}_{0}}^{{\vec{r}}_{1}} f (\vec{r}) d \vec{r} = \int_{t_{0}}^{t_{1}} f (\vec{r} (t)) \frac{d \vec{r} (t)}{d t} d t

Ok?

Mikhail aktiv_icon

19:11 Uhr, 27.09.2013

Danke sehr, die Aufgabe

b

. habe ich ganz verstanden!

MfG

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1115579

1115536

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?